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\centerline{解析学特別演習II・小テスト解答解説 (7)}
\rightline{2012年1月23日}
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室(電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}

\bigskip
配点は各問 $25$ 点です．
最高点は75点(3人)，平均点は44.7点でした．

略解をつけます，これはかなり省略してあるので，できなかった人は
よく考えて復習してください．

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[1] めんどうですが真面目に計算するだけです．答えは
$$\frac{\pi^3}{4}+\sum_{n\in\Z,n\neq0}\frac{3}{n^2\pi}
\left((-1)^n\pi^2-2\frac{(-1)^n-1}{n^2}\right)e^{inx}$$
です．

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[2] これもめんどうですが，計算するだけです．答えは
$\dfrac{\pi i}{2}e^{-ix/2}$ です．

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[3] 条件より $\dsize\frac{1}{2\pi}\sum_{n\in\Z}c_n e^{inx}$ は
一様絶対収束します．項別微分可能であることも従うので，これが
$C^\infty$級関数を与えます．これが $f$ と
ほとんどいたるところ一致します．

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[4] まず Poisson の和公式が使えることを確認します．すると与式は
$$\dfrac{1}{2\pi}\sum_{n\in\Z}\hat f_k(n)$$となります．一方
$$\hat f_k(\xi)=(\hat f(\xi))^k=\pi^k e^{-k|\xi|}$$ なので，答えは
$$\frac{\pi^{k-1}}{2}\frac{e^k+1}{e^k-1}$$となります．

\bye