\magnification=\magstep1 \documentstyle{amsppt} \baselineskip 14pt \NoBlackBoxes \nopagenumbers \define\R{\bold R} \define\Q{\bold Q} \define\Z{\bold Z} \define\T{\bold T} \define\e{\varepsilon} \def\lan{\langle} \def\ran{\rangle} \def\supp{\text{supp}} \centerline{解析学特別演習II・小テスト (7)} \rightline{2011年12月12日10:00--12:15} \rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)} \rightline{数理科学研究科棟323号室(電話 5465-7078)} \rightline{e-mail yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp} \rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}} \bigskip 解答用紙の一番上に 学生証番号と氏名を書いてください.裏面を使用してもかまい ませんが,その場合は表面の最後に「裏面使用」と書いてください. 自分のノートの持ち込み可です. \bigskip 以下,$\R$ 上で考えている測度はすべて Lebesgue 測度である. \bigskip [1] $[-\pi,\pi]$ 上の関数 $f(x)=|x|^3$ の Fourier 級数展開を求めよ. \bigskip [2] $[0,2\pi]$ 上の Fourier 級数展開が $\dsize\sum_{n\in\Z}\frac{e^{inx}}{2n+1}$ になる $L^2$ 関数を 具体的に求めよ. \bigskip [3] $f\in L^2([0,2\pi])$ とし, 整数 $n$ に対し $c_n=\dsize\int_0^{2\pi} f(x)e^{-inx}\;dx$ とおく. すべての自然数 $k$ について $\sum_{n}|n|^k |c_n|^2 < \infty$ であれば, $f$ は,ある $C^\infty$級関数とほとんどいたるところ一致する ことを示せ. \bigskip [4] $\R$ 上の関数 $f(x)=\dfrac{1}{1+x^2}$ に対し, $f_k(x)=(f*f*\cdots*f)(x)$ とおく.($f$ の $k$個の convolution をとったものである.) このとき $\dsize\sum_{n\in\Z}f_k(2\pi n)$ を求めよ. \bye