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\def\lan{\langle}
\def\ran{\rangle}
\def\supp{\text{supp}}

\centerline{解析学特別演習II・小テスト (6)}
\rightline{2011年12月5日13:00--14:30}
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室(電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip


解答用紙の一番上に
学生証番号と氏名を書いてください．裏面を使用してもかまい
ませんが，その場合は表面の最後に「裏面使用」と書いてください．

自分のノートの持ち込み可です．

\bigskip
以下，$\R$ 上で考えている測度はすべて Lebesgue 測度である．

\bigskip
[1] $[0,2\pi]$ 上の関数 $\sin\dfrac{x}{2}$ の Fourier
級数展開を求めよ．

\bigskip
[2] $[0,2\pi]$ 上の Fourier 級数展開が
$\dsize\sum_{n\neq0}\frac{e^{inx}}{n}$ になる $L^2$ 関数
を具体的に求めよ．ただし $n$ は 0 でない整数全体を動く．

\bigskip
[3]  $f\in L^1([0,2\pi])$ とし，
整数 $n$ に対し $c_n=\dsize\int_0^{2\pi} f(x)e^{-inx}\;dx$ とおく．
もし $\dsize\sum_{n}|c_n|^2 < \infty$ であれば，
$f\in L^2([0,2\pi])$ であることを示せ．

\bye