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\centerline{解析学特別演習II・小テスト解答解説 (5)}
\rightline{2011年12月5日}
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室(電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}

\bigskip
配点は $40,30,30$ 点です．
最高点は70点(1人)，平均点は40.8点でした．
今回は臨時なので，点数が悪くてもノーカウントで，良い時のみ
加算します．

略解をつけます，これはかなり省略してあるので，できなかった人は
よく考えて復習してください．

\bigskip
[1] $\hat f(\xi-\eta)$ の Fourier 逆変換を見るか，
あるいは $f,g$ が急減少の場合をまずやって $L^2$-近似するかすれば
できます．

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[2] Plancherel の定理ですぐできます．$\pi/2$ です．

\bigskip
[3] $f(x)=e^{-x^4}$ とおきます．これは急減少なので
Plancherel の定理でまず
$$\lim_{n\to\infty} \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty
\pi\chi_{[-1,1]}n^{1/4}\hat f(n^{1/4}x)\;dx$$ になり，
置換積分で
$$\lim_{n\to\infty} \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty
\pi\chi_{[-n^{1/4},n^{1/4}]}
\hat f(x)\;dx$$ になり，この極限は
$$\frac{\pi}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty \hat f(x)\;dx=
\pi f(0)=\pi$$ となります．

\bye