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\centerline{解析学特別演習II・小テスト解答解説 (4)}
\rightline{2011年11月14日}
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室(電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}

\bigskip
配点は $30,30,40$ 点です．
最高点は100点(1人)，平均点は49.0点でした．
略解をつけます，これはかなり省略してあるので，できなかった人は
よく考えて復習してください．

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[1] (1) Fourier 変換すればすぐできます．

(2) Fourier 変換すれば $\hat f\hat g=\hat g$ ですが，
どの点でも $g(\xi)\neq0$ であるような $g$ があるので，
$\hat f(\xi)=1$ となりますが，Riemann-Lebesgue の定理より
これは不可能です．

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[2] 直接やってもできますが，Fourier 変換すれば，
急減少関数の積が急減少，ということなので定義から
直接示せます．

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[3] 条件式を Fourier 変換して，
$(\hat f(\xi))^n=\hat f(n\xi)$ となります．条件より，
$\hat f$ は実数値偶関数となるので，
$n=2$ のときより，常に $\hat f(\xi)\ge 0$ となります．
正の整数 $m,n$ に対して
$\hat f(\pm m/n)=(\hat f(1))^{m/n}$ となり，$\hat f$ の
連続性より $\xi > 0$ に対して
$\hat f(\pm \xi)=(\hat f(1))^\xi$ となります．
$\hat f(1)=0$ ならば $\hat f$ は定数関数0であり，
これは条件を満たします．それ以外の場合は，
$\hat f(0)=1$ なので，これと合わせて計算すると
$f(x)=\dfrac{c}{\pi(x^2+c^2)}$, $c > 0$ が答えです．

\bye