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\centerline{解析学特別演習II・小テスト (4)}
\rightline{2011年11月7日13:00--14:30}
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室(電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip


解答用紙の一番上に
学生証番号と氏名を書いてください.裏面を使用してもかまい
ませんが,その場合は表面の最後に「裏面使用」と書いてください.

自分のノートの持ち込み可です.

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以下,$\R$ 上で考えている測度はすべて Lebesgue 測度である.

\bigskip
[1] (1) $f\in L^1(\R)$, $f*f$=0 であるとき,
$f=0$ であることを示せ.

(2) $f\in L^1(\R)$ で,すべての $g\in L^1(\R)$ 
に対して $f*g=g$ となるものは存在しないことを示せ.

\bigskip
[2] $f,g$ を $\R$ 上の急減少関数であるとしたとき,
$f*g$ も急減少関数であることを示せ.

\bigskip
[3] $f$ は $\R$ 上の実数値関数で,$f(x)=f(-x)$
を満たすとする.さらに,任意の正の整数 $n$ について,
$$(f*f*\cdots*f)(x)=
\frac{1}{n}f\left(\frac{x}{n}\right)$$
を満たすとする.ただしここで,左辺は
$n$ 個の $f$ の合成積である.このような
$f$ をすべて求めよ.

\bye