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\def\ran{\rangle}
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\centerline{解析学特別演習II・小テスト (3)}
\rightline{2011年11月7日10:00--12:15}
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室(電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip


解答用紙の一番上に
学生証番号と氏名を書いてください．裏面を使用してもかまい
ませんが，その場合は表面の最後に「裏面使用」と書いてください．

自分のノートの持ち込み可です．

\bigskip
以下，$\R$ 上で考えている測度はすべて Lebesgue 測度である．

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[1] $f,g,h\in L^1(\R)$ とするとき，
$(f*g)*h=f*(g*h)$ であることを示せ．


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[2] $a_0,a_1,\dots, a_N$ は複素数であり，
すべての実数 $\xi$ について，
$\sum_{n=0}^N a_n(i\xi)^n$ は正の実数になると
する．このとき，$\R$ 上の任意の急減少関数
$g$ に対し，$\dsize\sum_{n=0}^N a_n
\left(\frac{d}{dx}\right)^n f=g$ を満たす
急減少関数 $f$ がただ一つ存在することを示せ．

\bigskip
[3] 次の条件をすべて満たす $f,g$ の例を挙げよ．
条件を満たしていることをきちんと説明すること．

(1) $f,g\in L^1(\R)$.

(2) すべての $x\in\R$ について，
$f(x-y)g(y)$ は $\R$ 上の $y$ の
可積分関数である．

(3) $f*g$ は連続関数ではない．


\bye