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\def\lan{\langle}
\def\ran{\rangle}
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\centerline{解析学特別演習II・小テスト (1)}
\rightline{2011年10月17日10:00--12:15}
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室(電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip


解答用紙の一番上に
学生証番号と氏名を書いてください.裏面を使用してもかまい
ませんが,その場合は表面の最後に「裏面使用」と書いてください.

自分のノートの持ち込み可です.

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以下,$\R$ 上で考えている測度はすべて Lebesgue 測度である.

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[1] 次のそれぞれの条件を
満たす関数があるか.ある場合は具体例を一つ挙げ,ない場合は
ない理由を示せ.前者の場合も,その例が条件を満たしている
ことをきちんと説明すること.

(1) $L^1(\R)$ の元だが $L^2(\R)$ の元ではない.

(2) $L^2(\R)$ の元だが $L^1(\R)$ の元ではない.

(3) $f$ は連続で $L^1(\R)$ の元だが,
$\dsize\lim_{|x|\to\infty}f(x)=0$ ではない.

(4) $f$ は連続で,
$\dsize\lim_{|x|\to\infty}f(x)=0$ だが,どの $p\in[1,\infty)$
についても $f\in L^p(\R)$ ではない.

\bigskip
[2] 次の条件を満たす関数 $f$ の例を一つ挙げよ.
その例が条件を満たしている理由をきちんと説明すること.

$f\in L^1(\R)$ だが,
$\dsize \int_{-\infty}^\infty f(x-y)f(y)\;dy$
が可積分でないような $x\in\R$ が無限個ある.

\bigskip
[3] $\R$ 上の,コンパクト台を持つ複素数値連続関数全体の
集合を $C_0(\R)$ と書く.また.$\R$ 上の関数 $f$ と
実数 $t$ に対し,$f_t(x)=f(x-t)$ とおく.
次の問いに答えよ.

(1) $f\in C_0(\R)$ のとき,
$\dsize\lim_{t\to0}\|f-f_t\|_1=0$ を示せ.

(2) $f\in L^1(\R)$ のとき,
$\dsize\lim_{t\to0}\|f-f_t\|_1=0$ を示せ.

\bigskip
[4]  $\R$ 上の複素数値連続関数 $f$ で,
$\dsize\lim_{|x|\to\infty}f(x)=0$ を満たすものの全体を
$C_\infty(\R)$ と書く.$f\in C_\infty(\R)$ に対し,
$\|f\|=\dsize\sup_{x\in\R}|f(x)|$ とおいたとき,
これによって $C_\infty(\R)$ は Banach 空間になることを示せ.

\bye