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\centerline{解析学特別演習II・小テスト解答解説 (4)}
\rightline{2010年11月29日}
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室(電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip
最高点は95点(1人)，平均点は53.8点でした．
簡単な解説をつけます．

\bigskip
[1] Poisson の和公式を使いますが，この関数は急減少ではないので，
使えることをきちんと確認する必要があります．

$\hat f(\xi)=\dfrac{2}{1+\xi^2}$ であり，
$\hat f_n(\xi)=\dfrac{2^n}{(1+\xi^2)^n}$ となります．
これらはすべて $L^1$ です．また，
$\dfrac{2^n}{(1+\xi^2)^n}$ を2回微分しても $L^1$ であること
がわかり，その Fourier 逆変換は $-x^2 f_n(x)$ です．これが
有界なので，$\sum_{k\in\bold Z} f_n(x+2\pi k)$ は一様絶対
収束します．また，$f_n$ は連続で，
$\sum_{k\in\bold Z} \hat f(k)$ も絶対収束なので，Poisson の
和公式が使えます．

すると，
$$\sum_{k\in{\bold Z}} f_n(2\pi k)=\frac{1}{2\pi}
\sum_{k\in{\bold Z}}\dfrac{2^n}{(1+k^2)^n}$$ となります．
この右辺の無限和は，$2^n$ 以上，$2^n C$ 以下となります．
($C$ は $n$ によらない定数です．) よって，$\log$ をとって，
$n$ で割って極限を取ると，$2\pi$, $C$は無視できるので，
答えは $\log 2$ です．

\bigskip
[2] これも Poisson の和公式の応用です．$f$ は急減少なので，
$\dsize f\left(\frac{x}{2\pi n}\right)$ 
に対して Poisson の和公式をつかうと，
$$\sum_{k\in\bold Z}2\pi f\left(\frac{k}{n}\right)
=2\pi n \sum_{k\in\bold Z}\hat f(2\pi nk)$$
となります．$\hat f(0)=\dsize\int_{-\infty}^\infty f(x)\;dx$ なので，
$$\left|\int_{-\infty}^\infty f(x)\;dx-S_n\right|=
\sum_{k\neq 0}\hat f(2\pi nk)$$ がわかります．
問題の $j$ は2以上と仮定してかまいません．すると，
$\hat f$ も急減少であることから，定数 $a_j$ が存在して，
$|\hat f(2\pi nk)|\le \dfrac{a_j}{n^j |k|^j}$ となります．
$\sum_{k\neq 0} \dfrac{a_j}{|k|^j}=C_j$ とおけば結論が
出ます．

\bigskip
[3] 定義通り計算すれば，
$\dsize\sum_{n\in{\bold Z}} \delta_n$ になります．

\bigskip
[4] 定義通り計算すれば，$n>m$ のとき $0$, それ以外の時は
$(-1)^n m(m-1)\cdots(m-n+1)\delta^{(m-n)}$ となります．

\bye