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\define\R{\bold R}
\define\Q{\bold Q}
\define\Z{\bold Z}
\define\T{\bold T}
\define\e{\varepsilon}
\def\lan{\langle}
\def\ran{\rangle}
\def\supp{\text{supp}}

\centerline{解析学特別演習II・小テスト (4)}
\rightline{2010年11月15日}
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室(電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

時間は13:00〜14:30 です．

解答用紙の一番上に
学生証番号と氏名を書いてください．裏面を使用してもかまい
ませんが，その場合は表面の最後に「裏面使用」と書いてください．

自筆ノート持ち込み可で行います．本，コピー等は不可です．
計算用紙はありません．自分のノート等を使ってください．

\bigskip
[1] $f(x)=e^{-|x|}$ ($x$ は実数)とおき，$f$ を
$n$ 個 convolution した，
$f*f*\cdots*f$ を $f_n$ とおく．このとき
$$\lim_{n\to\infty}
\frac{1}{n}\log\left(\sum_{k\in{\bold Z}} f_n(2\pi k)\right)$$
を求めよ．

\bigskip
[2] $f$ を$\bold R$ 上の急減少関数とする．
自然数 $n$ に対し，
$$S_n=\frac{1}{n}\sum_{k\in\bold Z} f\left(\frac{k}{n}\right)$$
とおく．任意の自然数 $j$ に対し，定数 $C_j$ が存在して，
すべての $n$ に対して
$$\left|\int_{-\infty}^\infty f(x)\;dx-S_n\right|\le
\frac{C_j}{n^j}$$
がなりたつことを示せ．

\bigskip
[3] 実数 $x$ に対し，$x$ を超えない最大の整数を
$[x]$ で表す．この関数 $[x]$ を $\bold R$ 上の
超関数と思ったものの微分はどのような超関数か．
具体的に記述せよ．

\bigskip
[4] $n,m$ を非負整数とする．$\bold R$ 上の超関数 $x^n \delta^{(m)}$ は
どのようなものか，具体的に記述せよ．ただし，$\delta^{(m)}$
は $\delta$-関数の $m$ 階微分である．

\bye