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\centerline{解析学特別演習II・小テスト解答解説 (3)}
\rightline{2010年11月8日}
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室(電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

平均点は50点，最高点は80点(1人)でした．
簡単な解説をつけます．

\bigskip
[1] 普通に計算して，
$$\sum_{n\neq0}\left(\frac{\pi^2(-1)^n i}{n}-
\frac{6(-1)^n i}{n^3}\right)e^{inx}$$ となります．
(収束は $L^2$-収束です．)

\bigskip
[2] (1) $f(x)$ は周期 $\pi$ を持つので，
$n$ が奇数のとき
$\dsize \int_{-\pi}^\pi f(x) e^{-inx}\;dx=0$ です．
$n=2k$ ($k$ は整数)とすると，
$$\int_{-\pi}^\pi f(x) e^{-2ikx}\;dx=
2\int_{-\pi/2}^{\pi/2} f(x) e^{-2ikx}\;dx=
\int_{-\pi}^{\pi} f(x/2) e^{-ikx}\;dx$$ となります．
$x\in [-\pi,\pi]$ のとき，$f(x/2)=(\pi-|x|)/2$ であり，
$|x|$ の Fourier 係数は10/18の授業でやったので
それを使うと(あるいは直接でもすぐ計算できて)，
上の式の値は
$$\cases \pi^2/2,&\text{$k=0$ の時，}\\
0,&\text{$k$ が偶数で$0$でない時，}\\
\dfrac{2}{k^2},&\text{$k$ が奇数の時，}\endcases$$
となります．よって，Fourier 級数展開は
$$f(x)=\frac{\pi}{4}+\sum_{n\in{\bold Z}}
\frac{1}{\pi (2n+1)^2}e^{2(2n+1)ix}$$
となります．

(2) まず，一般論で上の級数は $L^2$-収束です．
また，係数が絶対収束するので，一様収束でもあり，
各点収束でもあります．

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[3] 特性関数 $\chi_{[-\pi/2,\pi/2]}$ の Fourier 係数は，
$$\int_{-\pi}^{\pi} \chi_{[-\pi/2,\pi/2]}(x)e^{-inx}\;dx
=\cases \pi,&\text{$n=0$ の時，}\\
0,&\text{$n$ が偶数で$0$でない時，}\\
\dfrac{2(-1)^k}{|n|},&\text{$|n|=2k+1$ の時，}\endcases$$
です．よって，
$\chi_{[-\pi/2,\pi/2]}*\chi_{[-\pi/2,\pi/2]}*\chi_{[-\pi/2,\pi/2]}$
の Fourier 級数展開は，
$$\frac{\pi^2}{2}+
\frac{4}{\pi}\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)^3}
(e^{i(2n+1)x}+e^{-i(2n+1)x})$$ となります．この級数は，絶対一様収束
しているので，この和が上の convolution に各点 $x$ で等しく
なります．Convolution を計算して答えを
求めると，$x=2n\pi+t$
($0\le |t|\le\pi$, $n$は整数)とおいたとき，答えは
$$\cases \dfrac{\pi}{4}\left(\dfrac{1}{4}\pi^2-t^2\right),
&\text{$0\le |t| \le \dfrac{\pi}{2}$ の時，}\\
\dfrac{\pi}{4}\left(t^2-2\pi|t|+\dfrac{3}{4}\pi^2\right),
&\text{$\dfrac{\pi}{2}\le |t| \le \pi$ の時，}\endcases$$
となります．

\bigskip
[4] $f(x)$ の Fourier 係数は，
$$\int_{-\pi}^{\pi} f(x) e^{-inx}\;dx
=\cases 0,&\text{$n=0$ の時，}\\
\dfrac{(-1)^n i}{n},&\text{$n\neq0$ の時，}\endcases$$
です．よって，$f$ を $4k$ 個 convolution したものの
Fourier 係数は
$$\int_{-\pi}^{\pi} f_k(x) e^{-inx}\;dx
=\cases 0,&\text{$n=0$ の時，}\\
\dfrac{1}{n^{4k}},&\text{$n\neq0$ の時，}\endcases$$
となります．この Fourier 係数は和が絶対収束しているので，
$$f_k(x)=\sum_{n\neq 0}\frac{1}{2\pi n^{4k}} e^{inx}$$
が各点 $x$ で成り立ちます．$k\to\infty$ とすると，
Lebesgue の収束定理が使えて，各点 $x$ で
$$\lim_{k\to\infty}f_k(x)=\frac{1}{2\pi}(e^{ix}+e^{-ix})
=\frac{\cos x}{\pi}$$
がわかります．

\bye