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\def\lan{\langle}
\def\ran{\rangle}
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\centerline{解析学特別演習II・小テスト (3)}
\rightline{2010年11月1日}
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室(電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

時間は13:00〜14:30 です．

解答用紙の一番上に
学生証番号と氏名を書いてください．裏面を使用してもかまい
ませんが，その場合は表面の最後に「裏面使用」と書いてください．

自筆ノート持ち込み可で行います．本，コピー等は不可です．
計算用紙はありません．自分のノート等を使ってください．

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[1] $[-\pi,\pi]$ 上の関数 $f(x)=x^3$ を Fourier 級数に展開せよ．

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[2] (1) $[-\pi,\pi]$ 上の関数 
$f(x)=\left| |x|-\frac{\pi}{2}\right|$ を Fourier 級数に展開せよ．

(2) 上の (1) の Fourier 級数は一様収束しているか，各点収束しているか，
$L^2$-収束しているか，理由をつけて答えよ．

\bigskip
[3] 次の関数の値を求めよ．ただし $x$ は実数である．
$$\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)^3}
(e^{i(2n+1)x}+e^{-i(2n+1)x}).$$

\bigskip
[4] $(-\pi,\pi]$ 上の関数 $f(x)=\dfrac{x}{2\pi}$ を
周期 $2\pi$ の関数と思う．
$(-\pi,\pi]$ 上で $f$ を $4k$ 個 convolution した，
$f*f*\cdots*f$ を $f_k$ とする．この関数の極限
$\dsize\lim_{k\to\infty} f_k(x)$ を求めよ．

\bye