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\centerline{解析学特別演習II・小テスト解答解説 (2)}
\rightline{2010年11月1日}
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室(電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

最高点は80点(1人)，平均点は30.5点でした．
簡単な解説を下につけます．積分の計算は，
留数計算でやっている人がほとんどでした．もちろん
それでもできますが，Fourier 変換の問題なので，
そうやった方が簡単にできます．

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[1] $\chi_{[-1,1]}(x)$ の Fourier 変換は
$(2\sin\xi)/\xi$ なので，この関数の
$L^2$-norm について Plancherel の定理を使います．
求める積分を $I$ とおくと，$2=4 I /(2\pi)$ となるので，
答えは $I=\pi$ です．

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[2] [1] で見たように，$\chi_{[-1,1]}(x)$ の Fourier 変換は
$(2\sin\xi)/\xi$ なので，$\chi_{[-1,1]}*\chi_{[-1,1]}$ 
の Fourier 変換が，$(4\sin^2\xi)/\xi^2$ です．これを
逆変換して，$\dfrac{\sin^2 x}{x^2}$ の Fourier 変換は，
$\pi \chi_{[-1,1]}*\chi_{[-1,1]}/2$ です．(ここで，$\xi=0$ と
おいたものが [1] の答えです．)

一般に，もし $f$ が急減少関数であれば，$xf$ の Fourier 変換は
$i\hat f'$ でした．今，$\dfrac{\sin^2 x}{x^2}$ は急減少では
ありませんが，もし同様にできたとすると，微分できない点は
無視して，$\dfrac{\sin^2 x}{x}$ の Fourier 変換は
$\pi i(\chi_{[-2,0]}(\xi)-\chi_{[0,2]}(\xi))/2$ と期待されます．

これが本当に答えであることは逆 Fourier 変換してみるとわかります．

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[3] (1) $C_0({\bold R})$ が，$L^2({\bold R})$ で
稠密であることより，授業でやったとおり平行移動が $L^2({\bold R})$ で
連続です．このことよりすぐに結論がわかります．

(2) $X=\{f*g\mid f,g\in L^2({\bold R})\}$,
$Y=\{\hat f\mid f\in L^1({\bold R})\}$ とおきます．

まず，$f$ が ${\bold R}$ 上の急減少関数の時，
$f(x)e^{itx}$ の Fourier 変換は，$\hat f(\xi-t)$ です．
($t$ は実数．) 急減少関数たちは，$L^2({\bold R})$ で
稠密であるので，このことは $f\in L^2({\bold R})$ でも
なりたちます．これと Plancherel の定理より，$f,g\in L^2({\bold R})$
のとき，$fg$ の Fourier 変換は，
$\dfrac{1}{2\pi}\hat f*\hat g$ となります．

ここで，$f,g$ が，$L^2({\bold R})$ 全体を動けば，$fg$ が
$L^1({\bold R})$ 全体を動くので，$Y=X$ がわかります．

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[4]  $\dfrac{1}{\cosh x}$ の Fourier 変換は
$\dfrac{\pi}{\cosh (\pi\xi/2)}$ であることを10月18日の
授業でやりました．よって，$\dfrac{x^2}{2\cosh x}$ の Fourier 変換は
$\left(\dfrac{-\pi}{2\cosh (\pi\xi/2)}\right)''$ です．
$\xi=0$ とおいて答えは $\pi^3/8$ です．

\bye