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\define\R{\bold R}
\define\Q{\bold Q}
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\define\T{\bold T}
\define\e{\varepsilon}
\def\lan{\langle}
\def\ran{\rangle}
\def\supp{\text{supp}}

\centerline{解析学特別演習II・小テスト (8)}
\rightline{2011年1月31日}
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室(電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

時間は13:00〜14:30 です．

解答用紙の一番上に
学生証番号と氏名を書いてください．裏面を使用してもかまい
ませんが，その場合は表面の最後に「裏面使用」と書いてください．

自筆ノート持ち込み可で行います．本，コピー等は不可です．
計算用紙はありません．自分のノート等を使ってください．

\bigskip
[1] $x\in\bold R$ に対し，$f(x)=\max(1-|x|,0)$ とおく．
また正の整数 $k$ について，$f_k=f*f*\cdots *f$ ($k$個の $f$ の
convolution) とおく．0以上の整数 $m$ と，$p\in[1,\infty)$に
ついて，$f_k$ が，どの Sobolev 空間 $W^{m,p}(\bold R)$ の
元となるか答えよ．

\bigskip
[2] $L^2({\bold R})$ の元 $f$で，$s\ge5/2$ では $f\not\in H^s({\bold R})$
となるが，$0\le s < 5/2$ では $f\in H^s({\bold R})$ となるようなものの
例を具体的に挙げよ．ただし具体的とは，積分などを含まずに各点での値が
明示的に表示されているもののことである．

\bigskip
[3] $L^2({\bold R})$ の元 $f$で，すべての $s\ge0$ について
$f\in H^s({\bold R})$ となるが，急減少関数ではないものの
例を具体的に挙げよ．ただし具体的とは，積分などを含まずに各点での値が
明示的に表示されているもののことである．

\bye