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\documentstyle{amsppt}

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\NoBlackBoxes
\nopagenumbers
\define\R{\bold R}
\define\Q{\bold Q}
\define\Z{\bold Z}
\define\T{\bold T}
\define\e{\varepsilon}
\def\lan{\langle}
\def\ran{\rangle}
\def\supp{\text{supp}}

\centerline{解析学特別演習II・小テスト (7)}
\rightline{2011年1月17日}
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室(電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

時間は13:00～14:30 です．

解答用紙の一番上に
学生証番号と氏名を書いてください．裏面を使用してもかまい
ませんが，その場合は表面の最後に「裏面使用」と書いてください．

自筆ノート持ち込み可で行います．本，コピー等は不可です．
計算用紙はありません．自分のノート等を使ってください．

\bigskip
[1] $\bold R$ 上のコンパクト台超関数 $T$ で，
$(\sum_{n\in\bold Z} \delta_n)*T=0$, $T\neq0$ となるものの例を
一つ挙げよ．理由をきちんと説明すること．

\bigskip
[2] ${\bold R}^n$ 上の試験関数列 $\{\varphi_k\}_{k=1,2,\dots}^\infty$ が
$\varphi\in {\Cal D}({\bold R}^n)$ に収束するとする．この時，
${\bold R}^n$ 上の超関数 $T$ に対し，次の問いに答えよ．

(1) $k\to\infty$ のとき $(T*\varphi_k)(x) \to (T*\varphi)(x)$ と
各点収束することを示せ．

(2) (1) における収束は，${\Cal E}({\bold R}^n)$ における収束であるか．
理由をつけて答えよ．

\bigskip
[3] $\bold R$ 上の超関数 p.v. $\dfrac{1}{x}$ を $T$ とおき，
$[-1,1]$ の特性関数を $\bold R$ 上の超関数と思ったものを
$S$ と書く．$T*S$ を求めよ．

\bye