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\define\e{\varepsilon}
\def\lan{\langle}
\def\ran{\rangle}
\def\supp{\text{supp}}

\centerline{解析学特別演習II・小テスト解答解説 (6)}
\rightline{2010年12月20日}
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室(電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

最高点は85点(1人)，平均点は41.6点でした．
簡単な解説をつけます．

\bigskip
[1] これができない人は，ほかの問題の結果にかかわらず，即座に0点です．

\bigskip
[2] 積分範囲を $|x| > 1$ と $|x|\le 1$ に分けて考えれば，
前者では問題なく評価でき，後者では試験関数の微分の評価より結論
が出ます．

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[3] $e^{-\e x} \chi_{\{x>0\}}$ の Fourier 変換と比べることにより，
$\dfrac{1}{x+i\e}$ の Fourier 変換は
$-2\pi i e^{-\e x} \chi_{\{x>0\}}$ です．ここで $\e\to0$ とすれば，
$-2\pi i e^{-\e x} \chi_{\{x>0\}}$ は，${\Cal S}'({\bold R})$
において，$-2\pi i \chi_{\{x>0\}}$ に収束することより，
(1)--(3) が一気にできて，これが(3)の答えとなります．

\bigskip
[4] (1), (2) は定義通りにすればすぐできます．
(3) は，$\varphi\in{\Cal S}({\bold R})$ としたとき，
Poisson の和公式により，
$$\sum_{n\in \bold Z} n\hat\varphi(n)=
-i \sum_{n\in \bold Z} \widehat{\varphi'}(n)=
-2\pi i\sum_{n\in \bold Z} \varphi'(2\pi n)$$
を得ます．よって，答えは
$2\pi i \sum_{n\in \bold Z} \delta'_{2\pi n}$ です．

\bye