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\define\R{\bold R}
\define\Q{\bold Q}
\define\Z{\bold Z}
\define\T{\bold T}
\define\e{\varepsilon}
\def\lan{\langle}
\def\ran{\rangle}
\def\supp{\text{supp}}

\centerline{解析学特別演習II・小テスト (6)}
\rightline{2010年12月13日}
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室(電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

時間は13:00〜14:30 です．

解答用紙の一番上に
学生証番号と氏名を書いてください．裏面を使用してもかまい
ませんが，その場合は表面の最後に「裏面使用」と書いてください．

自筆ノート持ち込み可で行います．本，コピー等は不可です．
計算用紙はありません．自分のノート等を使ってください．

\bigskip
[1] Lebesgue の収束定理のステートメントを書け．

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[2] 12/6 の講義で，超関数 ${\text{p.v.}}\dfrac{1}{x}$ が緩増加
であることは簡単にわかると言った．これが確かに緩増加である
ことを定義に基づいて示せ．

\bigskip
[3] (1) $\e > 0$ に対して，$\dfrac{1}{x+i\e}$ を $\bold R$ 上の
超関数とみなす．$\e \to 0$ としたとき，$\dfrac{1}{x+i\e}$
の超関数としての極限が存在することを示せ．

(2) (1)の極限を $T$ とおく．$T$は緩増加超関数であることを示せ．

(3) $T$ の Fourier 変換を求めよ．

\bigskip
[4] (1) $\dsize\sum_{n\in \bold Z} n\delta_n$ は
$\bold R$ 上の超関数として収束することを示せ．

(2) (1)の無限級数の収束先を $T$ とおく．$T$は緩増加超関数であることを示せ．

(3) $T$ の Fourier 変換を求めよ．

\bye