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\centerline{解析学特別演習II・小テスト解答解説 (5)}
\rightline{2010年12月6日}
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室(電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

最高点は85点(1人),平均点は46.0点でした.
簡単な解説をつけます.

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[1] $f(x)=\dfrac{\sin^2(x/2)}{x^2}$ に Poisson の和公式の証明法を
適用します.($f(0)=1/4$ と,連続に定義します.)
$\hat f(\xi)=\dfrac{\pi}{2}\max(1-|\xi|,0)$ ですから,
$F(x)=\dsize\sum_{n\in\bold Z}f(x+2n\pi)$ とおくと,この無限和は
一様絶対収束で,この Fourier 係数は,$\hat f(n)$ となります.
よって,$F(x)$ の Fourier 級数展開は,
$F(x)=1/4$ となります.$x$ に $2x$ を代入して整理すれば,
問題の式になります.

これは複素関数論でもよく知られた部分分数展開の式です.

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[2] 条件を書き換えると,任意の試験関数
$\varphi$ に対して $(f\varphi)^{(n)}(0)=0$ ということです.
このための必要十分条件は
$f(0)=f'(0)=\cdots=f^{(n)}(0)=0$です.

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[3] Poisson の和公式より,
$\dsize\sum_{n\in\bold Z} e^{inx}=2\pi \dsize\sum_{n\in\bold Z}
\delta_{2\pi n}$ でした.これを項別に2回微分したものより,
$\dsize\sum_{n\in\bold Z} n^2 e^{inx}=
-2\pi \dsize\sum_{n\in\bold Z} \delta''_{2\pi n}$ となります.

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[4] $f_n(x)=\dfrac{\sin^2 nx}{nx^2}$ とおくと,この Fourier 変換は
$\hat f_n(\xi)=\pi\max(1-|\xi|/2n,0)$ となります.よって,Plancherel
の定理より,試験関数 $\varphi$ に対して,$n\to\infty$ のとき,
$$\langle f_n, \varphi \rangle=
\langle \frac{1}{2\pi}\hat f_n, \hat\varphi\rangle
\to \langle \frac{1}{2}, \hat\varphi\rangle=\pi\varphi(0)$$
となります.
(Lebesgue の収束定理と,Fourier 逆変換公式を使いました.)
これより,求める極限は $\pi\delta$ です.

\bye