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\def\lan{\langle}
\def\ran{\rangle}
\def\supp{\text{supp}}

\centerline{解析学特別演習II・小テスト (3)}
\rightline{2007年11月6日}
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室(電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

解答は別紙に書いてください．学生証番号，氏名を一番上に
書いてください．自筆ノートのみ持込可で行います．

以下のすべての問題で，
考えている測度はLebesgue 測度である．

\bigskip
[1] $L^p(\R)$, $1\le p \le\infty$, について，内積を定義して，
その内積から定まるノルムが通常の $L^p$-ノルムになるように
できるか．理由をつけて答えよ．

\medskip
[2] $L^1(\R)$ において，次の集合 $K$ を考える．
$$K=\left\{f=\sum_{n=1}^\infty t_n \frac{n+1}{n}\chi_{[n-1,n]}\;
\left|\; t_n\ge 0, \sum_{n=1}^\infty t_n=1\right.\right\}.$$
このとき次の問いに答えよ．

(1) $K$ は，$L^1(\R)$ の閉凸集合であることを示せ．

(2) $c=\inf \{\|f\|_1\mid f\in K\}$ を求めよ．

(3) 上の $c$について，$c=\|f\|_1$ となる
$f\in K$ は存在しないことを示せ．

\medskip
[3] $f\in L^2(0,2\pi)$ について，
下記の2条件は同値であることを示せ．

(1) 整数 $k$ について，$c_k=\dsize\int_0^{2\pi} f(x)e^{-ikx}\;dx$
とおいたとき，すべての自然数 $N$ に対して
$\sum_{k\in\Z} |k|^N |c_k|$ が収束する．

(2) $f$ は，周期 $2\pi$ の $C^\infty$-関数を，$[0,2\pi]$ に
制限したものにほとんどいたるところ等しい．

\bye