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\centerline{解析学特別演習II・小テスト (2)解説}
\rightline{2007年11月5日}
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室(電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

配点は各問20点です．平均点は35点，最高点は80点でした．

\bigskip
[1] Plancherel の定理より，求める積分の値は
次のようになります．
$$\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty\pi^2e^{-2|\xi|}\;dx
=\frac{\pi}{2}.$$
この答えはもちろん前回の[3] (3) と同じです．
また [3] で，$\xi=0$ とおいたものにもなっています．

\medskip
[2] $-\pi i ({\text{sgn}}\; \xi) e^{-|\xi|}$ を逆 Fourier 変換すれば
$\dfrac{x}{x^2+1}$ になるのでこれが答えです．

\medskip [3] $f(x)=e^{-|x|}$ の Fourier 変換は
$\dfrac{2}{\xi^2+1}$ なので，$f*f$ の Fourier 変換は
$\dfrac{4}{(\xi^2+1)^2}$ となります．
$f*f(x)=(1+|x|)e^{-|x|}$ なので，逆 Fourier 変換の式より，
$\dfrac{\pi}{2}(1+|\xi|)e^{-|\xi|}$ となります．

\medskip
[4] 連続かつ可積分だが
$\lim_{|x|\to\infty} f(x)\neq0$ となるものならなんでもO.K.です．
たとえば，$h(x)=\chi_{[-1,1]}(x)(1-|x|)$ として，
$f(x)=\sum_{n=1}^\infty h(n^2(x-n))$ とすれば例になっています．

\medskip
[5] $f\in {\Cal S}(\R)$ のとき正しいことはすぐわかります．
一般の $f\in L^2(\R)$ については，${\Cal S}(\R)$ の元で
近似して極限を取ればできます．

\bye