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\centerline{解析学特別演習II・小テスト解説 (4)}
\rightline{2006年12月4日}
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室(電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

採点はTeaching Assistantの石谷君です．
平均は59点，最高は100点(3人)でした．
簡単な解説をつけます．

\bigskip
[1] (20点) どの本にでも出ているのでここでは省略します．
$\sigma$-有限性などの仮定が本来必要ですが，そこは減点していません．

\medskip
[2] (30点) たとえば，$L^2(\R)$ の元だが $L^1(\R)$ の元ではないような
$f,g$ をとればだいじょうぶです．
(2) は Cauchy-Schwarz からわかり，(3) は Cauchy-Schwarz と，
$L^2(\R)$ における平行移動の連続性 (前回の[2]) からわかります．

\medskip
[3] (5点$\times4$) 
(1) 単に計算して $$\dfrac{4\pi^2}{3}+\sum_{n\neq0}\frac
{2(1+\pi in)}{n^2}e^{inx}.$$

(2) $f(0)\neq f(2\pi)$ なので各点収束していません．

(3) $f(x)\in L^2(0,2\pi)$ なので，一般論で $L^2$-収束しています．

(4) (2)より一様絶対収束していません．

\medskip
[4] (30点) 
自然数 $n$ について $g_n(x)=\chi_{[-n,n]}(x)g(x)$ とおきます．
$g_n\in L^1(\R)\cap L^2(\R)$ と，$\|g_n-g\|_2\to0$ に注意します．
まず，$\|g_n-g\|_2\to0$ より，$\|\hat g_n-\hat g\|_2\to0$
がわかり，部分列に移ることにより，ある狭義単調増大数列
$\{n_k\}$ に対し
$\hat g_{n_k}(\xi)\to \hat g(\xi) $, $(k\to\infty)$ がほとんどいたる
ところ成立します．一方，Hausdorff-Young の不等式より，
$\|f*g_n-f*g\|_2\to0$ なので，
$\|\widehat{f*g_{n_k}}-\widehat{f*g}\|_2\to 0$ がわかり，
これは
$\|\hat f \hat g_{n_k}-\widehat{f*g}\|_2\to 0$ を意味します．
もう一度，$\{n_k\}$ の部分列 $\{m_k\}$ に移って，
$\hat f(\xi) \hat g_{m_k}(\xi)\to\widehat{f*g}(\xi)$ が
ほとんどいたるところ成立します．一方，ほとんどいたるところ，
$\hat f(\xi) \hat g_{m_k}(\xi)\to\hat f(\xi) \hat g(\xi)$
なので，$\hat f(\xi) \hat g(\xi)=\widehat{f*g}(\xi)$ が
ほとんどいたるところ成り立ちます．
\bye