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\def\lan{\langle}
\def\ran{\rangle}
\def\supp{\text{supp}}

\centerline{解析学特別演習II・小テスト (4)}
\rightline{2006年11月20日 10:00--12:15}
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室(電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

この試験はノート持ち込み可で行います．
解答は別紙に書いてください．学生証番号，氏名を一番上に
書いてください．

\bigskip
[1] Fubini の定理のステートメントを書け．(いろいろな形があるが，
一番単純な形でよい．)

\medskip
[2] 次のすべての条件を満たす関数 $f(x), g(x)$ の例を挙げよ．
条件を満たしていることをきちんと説明すること．

(1) $f,g$ はいずれも $\R$ 上の可測関数だが $L^1(\R)$ の元ではない．

(2) すべての $t\in \R$ に対し，
$f(t-x)g(x)$ が $x$ の関数として可積分である．

(3) $\dsize\int_{-\infty}^\infty f(t-x)g(x)\;dx$ が
$t$ の連続関数である．

\medskip [3] 
$[0,2\pi]$ 上の関数 $f(x)=x^2$ について次の問いに答えよ．

(1) $f(x)$をFourier級数に展開せよ．

(2) (1)の級数は，$f(x)$に各点収束しているか．簡単な理由をつけて答えよ．

(3) (1)の級数は，$f(x)$に$L^2$-収束しているか．簡単な理由をつけて答えよ．

(4) (1)の級数は，$f(x)$に一様絶対収束しているか．簡単な理由をつけて答えよ．


\medskip [4]
$f\in L^1(\R)$, $g\in L^2(\R)$ であるとき，$f*g$ の Fourier 変換と，
$\hat f \hat g$ はほとんどいたるところ一致することを示せ．

\bye