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\def\lan{\langle}
\def\ran{\rangle}
\def\supp{\text{supp}}

\centerline{解析学特別演習II・小テスト (3)}
\rightline{2006年11月13日 10:00--12:15}
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室(電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

この試験はノート持ち込み可で行います．
解答は別紙に書いてください．学生証番号，氏名を一番上に
書いてください．

\bigskip
[1] 次の式を示せ．(10月23日の講義で既知として使ったものである．)
$$\lim_{N\to\infty} \int_{-N}^N \frac{\sin x}{x}\;dx=\pi.$$

\medskip
[2] $f\in L^p(\R)$, $1 < p < \infty$, に対し，
$$\lim_{t\to0}\int_{-\infty}^\infty |f(x-t)-f(x)|^p\;dx=0$$
を示せ．

\medskip
[3] $f(x)=\dfrac{1}{1+x^2}$ に対し，$f*f*\cdots*f$ を求めよ．
($f$ の数は $k$個とする．)

\medskip
[4] $\R$ 上の実数値を取る連続な可積分関数 $f(x)$ が次の2条件を
みたすとする．このような $f(x)$ をすべて求めよ．

(1) 任意の正の整数 $k$ に対し，
$$k (f * f * \cdots * f)(x) = f(\frac{x}{k})$$
が成り立つ．ただしここで，$*$ は関数の畳み込み (convolution) を
表し，左辺には $f$ が $k$ 回現れている．

(2) $f(x)=f(-x)$.

\bye