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\centerline{解析学特別演習II・小テスト解説 (2)}
\rightline{2006年10月30日}
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室(電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

採点はTeaching Assistantの石谷君です．
平均は45点，最高は80点(3人)でした．
簡単な解説をつけます．

\bigskip
[1] (20点) $(X, \mu)$ を測度空間とし，関数 $f(x,t)$, $x\in X, 
t \in (a,b)$ を考える．これが任意の固定した $t$ に
対して $x$ の関数として可積分，任意の固定した $x$ に対して
$t$ の関数として微分可能とする．
また，$X$ 上の可積分関数 $g(x)$ が存在して，
$\left|\dfrac{\partial f(x,t)}{\partial t}\right|\le g(x)$ が
$X\times (a,b)$ 上成り立つとする．このとき
$\dsize\int_X f(x,t)\;d\mu(x)$ は $t$ の関数として $(a,b)$ 上
微分可能で，
$$\frac{d}{dt}\int_X f(x,t)\;d\mu(x)=\int_X
\dfrac{\partial f(x,t)}{\partial t}\;d\mu(x)$$
がなりたつ．

\medskip
[2] (30点) 一つずつ処理していけば数学的帰納法で問題なくできます．
答えは，$\sqrt{\dfrac{\pi^{k-1}}{k}}e^{-x^2/k}$ です．
Fourier 変換してもできます．

\medskip
[3] (10点$\times3$) 

(1) 誤り．たとえば，$f(x)=1/(1+x^2)$, $g(x)$ は授業でやった，
常に $g(x)\ge 0$ となる $C_0^\infty(\R)$ の元で恒等的にはゼロで
ない関数とすれば，$f*g$ はすべての点で値が正となります．

(2) 正しい．$f*g(x)=\int_{\R} f(y)g(x-y)\;dy$ とすれば，授業で
やったように積分記号下の微分が何回でもできるので，結論を得ます．

(3) 正しい．$f\in C_0(\R)$ の場合は $f*g\in C_0(\R)$ であることが
簡単にわかります．$f\in L^1(\R)$ のときは，
$f_n \in C_0(\R)$, $\|f-f_n\|_1\to0$ となるように
$\{f_n\}$ を選ぶと，$\|f*g-f_n*g\|_\infty\le
\|g\|_\infty \|f-f_n\|_1\to 0$ となるので，$f*g$ も $C_\infty(\R)$
の元となります．

\medskip
[4] (20点) 

存在する．例は次のとおりです．

$f(x)=g(x)=\chi_{[-1,1]}(x)\dfrac{1}{\sqrt{|x|}}$とおきます．
(原点での値はどうでもいいので，たとえば0にしておきます．)
このとき $\lim_{t\to0+}f*g(t)=\infty$ を示せば十分です．
(こうであれば，測度ゼロの集合上で値を取り替えても
原点の近傍で有界にはできないからです．) 

$f*g$ は具体的に
積分を書くことも可能ですが，次のように評価できます．
$0 < t < 1/2$ のとき，
$$f*g(t)\ge\int_t^{t+1/2}\frac{1}{\sqrt{x}}
\frac{1}{\sqrt{x-t}}\;dx=
\int_0^{1/2}\frac{1}{\sqrt{x+t}}
\frac{1}{\sqrt{x}}\;dx$$
となりますが，最後の式は単調収束定理により
$t\to0+$ のとき，無限大に発散します．

\bye