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\def\ran{\rangle}
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\centerline{解析学特別演習II・小テスト (2)}
\rightline{2006年10月23日}
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室(電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

解答は別紙に書いてください．学生証番号，氏名を一番上に
書いてください．

\bigskip
[1] Lebesgue 積分論において，「積分記号下での微分」を正当化する
定理のステートメントを書け．

\medskip
[2] $f(x)=e^{-x^2}$ に対し，$f*f*\cdots*f$ を求めよ．
($f$ の数は $k$個とする．)

\medskip
[3] 次のそれぞれの命題は正しいか．正しければ証明し，誤っていれば
反例を挙げよ．きちんと理由も示すこと．(実軸上で，$\Cal S(\R)$ は
Schwartz の急減少関数の空間，$C_0(\R)$ はコンパクト台の
連続関数の空間，$C_\infty(\R)$ は無限遠で$0$になる連続関数の
空間を表す．)

(1) $f\in L^1(\R)$, $g\in C_0^\infty(\R)$ ならば
$f*g\in C_0^\infty(\R)$.

(2) $f\in L^1(\R)$, $g\in{\Cal S}(\R)$ ならば
$f*g\in C^\infty(\R)$.

(3) $f\in L^1(\R)$, $g\in C_0(\R)$ ならば
$f*g\in C_\infty(\R)$.

\medskip
[4] 次の条件を満たす $f(x), g(x)\in L^1(\R)$ の例はあるか．
あるならば具体的に挙げよ．ないのならば，存在しないことを示せ．

「ほとんどいたるところ $f*g(x)=h(x)$ となる，$\R$ 上の連続関数
$h(x)$ は存在しない．」

\bye