\magnification=\magstep1 \documentstyle{amsppt} \baselineskip 14pt \NoBlackBoxes \nopagenumbers \define\R{\bold R} \define\Q{\bold Q} \define\Z{\bold Z} \define\T{\bold T} \define\e{\varepsilon} \def\lan{\langle} \def\ran{\rangle} \def\supp{\text{supp}} \centerline{解析学VI期末テスト} \rightline{2007年2月5日 13:00--16:00} \rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)} \rightline{数理科学研究科棟323号室(電話 5465-7078)} \rightline{e-mail yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp} \rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}} \bigskip この試験はノート持ち込み可で行います. 解答は解答用紙に書いてください. \bigskip [1] $\R$ 上の超関数 $T$ で,$(x-1)^2(x-2)T=0$ となるものをすべて求めよ. \medskip [2] $\R$ 上の可測関数 $f$ について次の2条件が同値であることを示せ. (1) $f=g*h$ となる $g,h\in L^2(\R)$ が存在する. (2) $f=g*g$ となる $g\in L^2(\R)$ が存在する. \medskip [3] $\R$ 上の関数 $f, g \in L^2(\R)$ に対し, $\hat f \hat g\in L^2(\R)$ であったとする. このとき,$f*g \in L^2(\R)$ であって,$\widehat{f*g}(\xi) =\hat f(\xi) \hat g(\xi)$ がほとんどいたるところ成り立つことを示せ. \medskip [4] $\R$ 上の関数 $f(x)=\dfrac{\sin 2x \sin x}{\pi x^2}$ に対し, $f_k=f*f*\cdots*f$ とおく.ただし,右辺に $f$ の現れる回数は $k$ である. このとき $L^2(\R)$ における極限 $\lim_{k\to\infty} f_k$ を求めよ. \medskip [5] $s\ge 0$ に対し,Sobolev 空間 $H^s(\R)$ を考える. $f\in L^1(\R)$, $g\in H^s(\R)$ に対し,$f*g\in H^s(\R)$ と $\|f*g\|_{H^s}\le \|f\|_1 \|g\|_{H^s}$ が成り立つことを示せ. \medskip [6] $x\in\R$ に対し, $f(x)=[x]$ とおく.(ただし,実数 $x$ に対し,$[x]$ は $x$ を超えない最大の整数を表す.) (1) $f$ は緩増加超関数とみなせることを示せ. (2) 超関数としての微分 $f'$ を求めよ. (3) $f$ の緩増加超関数としての Fourier 変換を求めよ. \bye