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\define\R{\bold R}
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\def\lan{\langle}
\def\ran{\rangle}
\def\supp{\text{supp}}

\centerline{解析学特別演習II・小テスト解説 (7)}
\rightline{2007年2月2日}
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室(電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

採点はTeaching Assistantの石谷君です.
平均は61.7点,最高は100点(1人)でした.
簡単な解説をつけます.

\bigskip
[1] (40点) 超関数として,$f'(x)=\chi_{[-1,0]}(x)-\chi_{[0,1]}(x)$
であることがわかるので,これより,
$$i\xi\hat f(\xi)=\widehat{f'}(\xi)=(2-2\cos\xi)/(-i\xi)$$
となり,$\hat f(\xi)=(2-2\cos\xi)/\xi^2$ となります.
$$\int_{-\infty}^\infty \frac{(2-2\cos\xi)^2}{\xi^4}(1+\xi^2)^s\;d\xi
< \infty$$ となる条件は,$s < 3/2$ なのでこれが答えです.

\bigskip
[2] (10点$\times3$) 

(1) $\xi$ を固定して $\eps\to0$ としたとき,
$(e^{-ix(\xi+\eps)}-e^{-ix\xi})/\eps$ が ${\Cal E}'(\R)$
において$-ix e^{-ix\xi}$ となることがわかります.よって,
$f'(\xi)=\langle T, -ix e^{-ix\xi}\rangle$ となります.何回でも
これが繰り返せるので,$f(\xi)$ は $C^\infty$-級です.

(2) $\supp T$ の近傍を含むコンパクト
集合 $K$ について,$C>0$, $m \in\N$が存在し,
$$|\langle T, \ph \rangle|\le
C\sum_{k=0}^m \sup_{x\in K} |\ph^{(k)}(x)|$$となります.
これを $\ph(x)=e^{-ix\xi}$ について適用すれば結論が出ます.

(3) $\ph(\xi)$ を ${\Cal D}'(\R)$ の元とします.
$\int_{-\infty}^\infty e^{-ix\xi}\ph(xi)\;d\xi$ を考えると,
Riemann 和がこの積分に収束するのは,$x$ の関数としての
${\Cal E}'(\R)$ における収束になっていることが
わかります.したがって,
$$\langle f,\ph\rangle=\langle T,
\int_{-\infty}^\infty e^{-ix\xi}\ph(xi)\;d\xi\rangle$$
を得ます.これは緩増加超関数として,$f=\hat T$ を意味しています.

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[3] (30点) $\ph \in {\Cal S}(\R)$ を,$\hat\ph$ が
compact 台を持つように取ります.まず,
$$\langle \widehat{T*S},\hat \ph\rangle=
2\pi \langle T*S, \check \ph \rangle=
2\pi \langle T, (S* \ph)\check{} \rangle$$ がわかります.

一方,
$$\langle \hat T, \hat \ph \hat S\rangle=
\langle \hat T,  \widehat{S*\ph}\rangle=2\pi
\langle T, (S* \ph)\check{} \rangle$$
なので,$\widehat{T*S}=\hat T \hat S$ がしたがいます.

\bye