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\centerline{解析学特別演習II・小テスト解説 (6)}
\rightline{2007年1月15日}
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室(電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

採点はTeaching Assistantの石谷君です．
平均は64点，最高は90点(3人)でした．
簡単な解説をつけます．

\bigskip
[1] (30点) Fourier 変換して，$(\hat f)^2= \sqrt{\pi}e^{-\xi^2/4}$
より，各点 $\xi$ ごとに，
$\hat f(\xi)=\pm{\pi}^{1/4}e^{-\xi^2/8}$ となりますが，
$\hat f$ は連続なので，$\pm$ はすべての $\xi$ に共通でないと
いけません．これより逆 Fourier 変換で戻して，
$f(x)=\pm(4/\pi)^{1/4}e^{-2x^2}$ ($\pm$ はすべての $x$ について
共通) となります．

\medskip
[2] (30点) $1/p+1/q=1$ とします．
$f\in L^p(\R)$, $\phi\in {\Cal D}(\R)$ に対し，
H\"older の不等式より，
$|\langle f, \phi\rangle|\le \|f\|_p\|\phi\|_q$ となります．
また，
$$\left(\int|\phi(x)|^q\;dx\right)^{1/q}\le
\left(\int\frac{(x^2|\phi(x)|+|\phi(x)|)^q}{x^2+1}\;dx\right)^{1/q}
\le 2 \pi^{1/q} p_2(\phi)$$
であることより，$f$ は緩増加超関数となります．

\medskip
[3] (20点) 一番簡単な例は，
$T=\delta$, $S=\text{p.v.}\dfrac{1}{x}$, $f(x)=x$ でしょう．
$fT=0$, $(fT)S=0$, $fS=1$, $(fS)T=\delta$ となります．

\medskip
[4] (20点) 試験関数にほどこして極限を普通に計算すれば，
極限が $2\text{p.v.}\dfrac{1}{x}$ であることがわかります．

\bye