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\centerline{解析学特別演習II・小テスト解説 (5)}
\rightline{2006年12月4日}
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室(電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

採点はTeaching Assistantの石谷君です．
平均は33点，最高は80点(1人)でした．
簡単な解説をつけます．

\bigskip
[1] (40点) $N$ は自然数全体を動くとして，
「$\Q+i\Q$を係数に持つ多項式を$[-N,N]$に制限したもの」
を考えればそのような関数たちは可算個であり， $L^2(\R)$ で稠密
になります．

\medskip
[2] (30点)
$g_n(x)=(n/\sqrt{\pi})e^{-n^2x^2}$ とおきます．
$\hat g_n(\xi)=e^{-\xi^2/n^2}$ です．$g_n\in L^1(\R)\cap
L^2(\R)$ なので，$f*g_n \in L^1(\R)\cap L^2(\R)$ です．
この Fourier 変換は $\hat f \hat g_n$ で，これは $L^2(\R)$
の元になります．$\hat g_n$ の形と，$\hat f\in L^2(\R)$
であることより，
$\{\hat f \hat g_n\}$ は $L^2(\R)$ における Cauchy 列である
ことがわかり，$\{f*g_n\}$ も $L^2(\R)$ における Cauchy 列
になります．したがって，部分列に移ることにより，
$\{f*g_{n_k}\}_k$ はある $L^2$-関数にほとんどいたるところ
各点収束します．一方，$\{f*g_n\}$ は，$f$ に $L^1$-収束
しているので，$\{f*g_{n_k}\}_k$ の部分列が，$f$ 
にほとんどいたるところ各点収束します．これより，
上の「ある $L^2$-関数」が $f$ にほとんどいたるところ
等しいことになり，$f$ が $L^2$ であることが導かれます．

\medskip
[3] (30点) $f\in L^1(\R)$, $f\notin L^2(\R)$ で，測度0の集合上で
値を変えても連続にできないものを取れば O.K. です．

(2)については，もしも $\hat f\in L^1(\R)$ になったとすると，
Fourier 逆変換によって $f$ はある連続関数にほとんどいたる
ところ一致することになってしまうからです．

(2)については，もしも $\hat f\in L^2(\R)$ になったとすると，
上の問題[2]によって，$f\in L^2(\R)$ になってしまうからです．

具体的にはたとえば，$f(x)=\dfrac{\chi_{(0,1)}(x)}{\sqrt{x}}$
ととれます．

\bye