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\define\R{{\bold R}}
\define\Z{\bold Z}

\centerline{解析学VI 演習問題}
\rightline{河東泰之}
\bigskip

[1] 
$f(x)\in L^2(\R)$で，そのFourier変換$\hat f(\xi)$は$C_0(\R)$に入るが，
$f(x)\notin L^1(\R)$となるものを具体的に構成せよ．
（$\hat f(\xi)\in C_0(\R)$とは，より厳密には，ある
$g(\xi)\in C_0(\R)$が存在して，$\hat f(\xi)=g(\xi)\quad\text{a.e.}$
ということである．）

\medskip

[2] $f(x), g(x)\in L^1(\R)$で，$\|f\|_1=\|g\|_1=1$だが，
$\|f*g\|_1=0$となることがあるか？理由を付けて答えよ．

\medskip

[3] 
$f(x)\in C_0^\infty(\R)$に対し，
$\dsize \int_\R f(x-y)\dfrac{\sin y}{y}\;dy$を対応させる
線型写像を$T_0$と書く．この
写像が，$L^2(\R)$から$L^2(\R)$への有界線型写像に延長できることを示し，
そのnormを求めよ．

\medskip

[4] 
次の等式を示せ．
$$
\frac{e^{2\pi\alpha}+1}
{e^{2\pi\alpha}-1}=\frac{1}{\pi}
\sum_{n=-\infty}^\infty\frac{\alpha}{\alpha^2+n^2}.$$
ただし，$\alpha$は，正の定数である．

\medskip

[5] $f\in L^\infty(\R)$に対し，$L^2(\R)$上の作用素$T_f$を
$T_f(g)(x)=f(x)g(x)$, $g(x)\in L^2(\R)$で定める．
この作用素$T_f$のnormは何か．

\medskip

[6] $\ell^\infty$の単位球は弱点列コンパクトか？理由を付けて
答えよ．

\medskip

[7] $C_0^\infty(\R)$の関数列$\{f_n(x)\}_n$で，
$\text{supp} f_n\subset [0,1]$で,
$\|f_n\|_2\le 1$だが，
$\{f_n(x)\}_n$はnorm収束するような部分列を含まないような
例を作れ．

\medskip

[8] $f\in L^2(\R)$に対し，$f_n(x)=e^{inx}f(x)$とおく．Hilbert空間
$L^2(\R)$で，関数列$\{f_n\}_n$は，弱収束先を持つか？持つならば
その弱極限は何か？

\medskip

[9] $f\in L^1(\R)$に対し，$f^*(x)=\overline{f(-x)}$とおく．
このとき，$\|f*f^*\|_1\le\|f\|_1^2$を示せ．また，この不等式で，
等号が成り立たないことがあるか？成り立たないことがあれば
そのような例をあげ，またいつでも成り立つのならそれを証明せよ．

\medskip

[10] 
Banach空間$c_0$（0に収束する複素数列全体）の点列$\{x_n\}_n$が，
0に弱収束するための必要十分条件は，
$\sup_n \|x_n\|<\infty$かつ，すべての$k$について
$\lim_n x_n(k)=0$である．この事を証明せよ．
（ただし，$x_n(k)$は，数列$x_n\in c_0$の$k$項目を表す．）

\bye