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\nologo
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\define\R{\bold R}
\define\Z{\bold Z}
\define\e{\varepsilon}

\centerline{解析学VI 冬学期試験問題 (2/1/1992)}
\smallskip
\rightline{河東泰之}
\bigskip

問題は200点分あります．100点（以上）になるように問題を選択して
解いてください．

授業でのFourier変換${\Cal F}$，逆変換$\tilde{\Cal F}$の定義は，
$$
({\Cal F}f)(\xi)=\int_{\bold R}f(x)e^{-ix\xi}dx,\quad
(\tilde{\Cal F}f)(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{\bold R}f(\xi)e^{ix\xi}d\xi
$$
です．これと異なる定義を用いる人は，自分の定義を明記してください．

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[1] (15点)
実軸$\R$上の関数$\chi_{[-1,1]}(x)$ （閉区間$[-1,1]$の特性関数）は，どの
範囲の$s$に対し，Sobolev空間$H^s(\R)$の元となるか．（ただし，
$s>0$とする．）

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[2] (20点)
次の積分の値を求めよ．
$$\int_{-\infty}^\infty \frac{\sin x\;dx}{x(e^x+e^{-x})}$$

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[3] (20点)
Banach空間$\ell^1$から，
Banach空間$c_0$（0に収束する複素数列全体）
への線型写像$T$を，
$(Tx)_n=\sum_{m\ge n}x_m$, ($x=(x_n)\in\ell^1$)で定める．
$T^*: \ell^1\to\ell^\infty$を求めよ．

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[4] (20点)
Hilbert空間$\ell^2$の元，$x=(x_n)$に対し，
$(Tx)_n=c_n x_{n+1}$とはたらく作用素$T$を考える．
ただし，ここで$(c_n)$は有界な複素数列である．
いつ，この$T$がcompact作用素になるか答えよ．

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[5] (20点)
$C_0^\infty(\R)$の元$f(x)$を取る．
次の極限値を求めよ．
$$\lim_{\e\downarrow 0}\int_{-\infty}^\infty
\left(\dfrac{1}{x+i\e}-\dfrac{1}{x-i\e}\right)f(x)\;dx$$

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[6] (20点)
可分（separable）な無限次元Hilbert空間$H$上のcompact operator全体のなす
Banach空間を${\Cal K}(H)$とする．この${\Cal K}(H)$は，
可分であることを示せ．

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[7] (20点)
次の命題は正しいか？正しければ証明し，正しくなければ
反例をあげよ．

「任意の$L^1(\R)$の元$f(x)$に対し，$L^2(\R)$上の作用素
$T_f:g\mapsto f*g$, ($g\in L^2(\R)$)
はcompactである．」

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[8] (20点)
反射的（reflexive）Banach空間$X$からBanach空間$Y$への有界線型作用素
$T$に対し，$T$が単射であることと，$T^*Y^*$が$X^*$で
稠密であることは同値であることを示せ．

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[9] (15点)
反射的（reflexive）Banach空間$X$からBanach空間$Y$へのcompact operator
$T$に対し，
$\|Tx\|=\|T\|$となる$x\in X$で，$\|x\|=1$となるものが
存在することを示せ．

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[10] (30点)
Banach空間$\ell^1$の点列$\{x_n\}_n$が$x\in\ell^1$に弱収束している
とする．このとき，実は$\{x_n\}_n$は，$x$に$\ell^1$-normで
収束していることを示せ．

\bye