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\NoBlackBoxes
\nopagenumbers
\def\phi{\varphi}
\def\lan{\langle}
\def\ran{\rangle}

\centerline{数理科学 I 期末テスト解答解説}
\medskip
\rightline{2004年7月27日}
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室(電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

配点は順に$15\times2$, $15+10$, 25, $15\times2$点の計110点満点です．
この点数$x_2$が上に赤で書いてあります．
第2回中間テストの点数を$x_1$とすると，最終成績$x$は前に予告したとおり，
$x=0.3\max(x_1,x_2)+0.7x_2$ (を四捨五入したもの) として計算します．
(ただし100点を超えていたら100点で頭打ちです．) これが青で書いてある
点数で，教務課に報告されるものです．採点ミスがあると思う人は，
ただちに申し出て下さい．(返却する答案は，すべてコピーが取ってあります．)

期末テスト自体の最高点は104点(1人)，平均点は65.4点，その得点の
分布は次のとおりです．あまりできはよくなかったので，正しい方針で計算して
ある場合は，かなり大きく計算が間違っていても部分点を多めにつけています．

$$\vbox{\offinterlineskip
\def\vsp{height 2pt &\omit &&\omit &&\omit &&\omit
&& \omit &&\omit &&\omit
&\cr}
\def\t{\noalign{\hrule}}
\def\h{\hfil}

\halign{& \vrule # & \strut \;\;\hfil # \; \cr
\t\vsp
& 0--49 (点) && 50--59 && 60--69
&& 70--79  && 80--89 && 90--99 && 100-- & \cr
\vsp\t
& 8  (人) && 8 && 7 && 2 && 4 && 7  && 1 & \cr
\vsp\t
}}$$

最終成績(青い数字)の平均点は66.7点，その得点の
分布は次のとおりです．

$$\vbox{\offinterlineskip
\def\vsp{height 2pt &\omit &&\omit &&\omit &&\omit
&& \omit &&\omit &&\omit
&\cr}
\def\t{\noalign{\hrule}}
\def\h{\hfil}

\halign{& \vrule # & \strut \;\;\hfil # \; \cr
\t\vsp
& 0--49 (点) && 50--59 && 60--69
&& 70--79  && 80--89 && 90--99 && 100 & \cr
\vsp\t
& 7 (人) && 8 && 8 && 2 && 4 && 7 && 1 & \cr
\vsp\t
}}$$

各問の簡単な解答と解説は次のとおりです．

\bigskip
[1] 通常通り Lagrange の未定乗数法でやればどちらもすぐにできます．
また，$\phi(x,y)=0$ のグラフは (1) で双曲線，(2) で楕円なので
もっと初等的な方法でも簡単にできます．

(1) 最大値なし，最小値 1.

(2) 最大値 $1/4$, 最小値 $-1/4$.

\bigskip
[2] (1) 点$(u,v)=(-1,0)$に写るのは $(x,y)=(0,0)$ だけです．
そこで，
$$\left(\matrix
u_x(0,0) & u_y(0,0) \\
v_x(0,0) & v_y(0,0)
\endmatrix\right)$$
の行列式が $0$ でないことがわかれば逆関数定理が使えます．
(点$(x,y)=(-1,0)$において，この行列を計算している人が何人も
いましたが，そうではありません．計算するべき点は
$(x,y)=(0,0)$です．) この行列は，
$$\left(\matrix
0 & -2 \\
2 & 0
\endmatrix\right)$$
なので，O.K. です．(たとえば，$u_x(0,0)$ を求めるには $u$
の式で $y=0$ とした上で $x$ で微分して $x=0$ とおけば簡単に
できます．元の式をそのまま偏微分して行列式を求めて計算を
間違えている人がたくさんいました．)

実際は，逆写像 $\phi, \psi$ は具体的に簡単な式で書けます．

(2) (1) の行列の逆行列なので
$$\left(\matrix
0 & 1/2 \\
-1/2 & 0
\endmatrix\right)$$
です．

\bigskip
[3] ベクトル $(t\cos\theta, t\sin\theta, \theta)$ を
$t, \theta$ で偏微分するとそれぞれ，
$(\cos\theta, \sin\theta, 0)$, $(-t\sin\theta, t\cos \theta, 1)$
となります．よって，授業の記号で
$E=1, F=0, G=t^2+1$ となり，答えは
$$\int_0^{2\pi}\int_0^1 \sqrt{t^2+1}\;dt\;d\theta
=\pi(\sqrt 2 + \log(1+\sqrt2))$$
です．

\noindent
$2\pi \dsize\int_0^1 \sqrt{t^2+1}\;dt$ までできていれば20点にしてあります．
$\dsize\int\dsize\int \sqrt{z_x^2+z_y^2+1}\;dx\;dy$ の公式を使うには
$z$ が，$x,y$ の関数で表されていなくてはなりません．

\bigskip
[4] (1) $x=\cos \theta$, $y=\sin\theta$ とパラメータ表示して
線積分の定義どおり計算すると，$2\pi$ となります．

(2) $-P_y(x,y)+Q_x(x,y)=0$ であることがわかるので，原点を内部に含まない
領域で Green の定理を使うと二重積分の値は0となります．これより，線積分
の値は，積分する曲線が円でも正方形でも同じで，(1)と同じ
$2\pi$ が答えとなります．

直接正方形上で線積分を定義どおりに計算することもできます．

\bye