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\documentstyle{amsppt}

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\NoBlackBoxes
\nopagenumbers
\def\phi{\varphi}
\def\lan{\langle}
\def\ran{\rangle}

\centerline{数理科学 I 期末テスト}
\medskip
\rightline{2004年7月26日}
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室(電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

このテストは自筆ノート持ち込み可で行います．
(本や，人のノートのコピーは不可です．)
答案には途中の計算，説明などをきちんと書いてください．
答案用紙は両面1枚です．それに収まるように書いてください．

\bigskip
[1] 次のそれぞれの場合について，$\phi(x,y)=0$ という条件の下で，
$f(x,y)$ の最大値，最小値を求めよ．(最大値または最小値がない
場合はないと答えよ．)

(1) $f(x,y)=x^2+y^2$, $\phi(x,y)=x^2-3y^2-1$.

(2) $f(x,y)=xy$, $\phi(x,y)=x^2+4y^2-1$.

\bigskip
[2] $xy$-平面から点$(0,1)$を除いた領域から$uv$-平面への
写像を次の式で定める．
$$\align
u&=\dfrac{x^2+y^2-1}{x^2+(y-1)^2},\\
v&=\dfrac{2x}{x^2+(y-1)^2},
\endalign$$
このとき次の問に答えよ．

(1) 点$(u,v)=(-1,0)$の近傍で上の写像は$C^1$級の逆写像
$x=\phi(u,v)$, $y=\psi(u,v)$を持つことを示せ．

(2) 点$(u,v)=(-1,0)$において，上の写像$\phi,\psi$に対し，
行列
$$\left(\matrix
\phi_u(-1,0) & \phi_v(-1,0) \\
\psi_u(-1,0) & \psi_v(-1,0)
\endmatrix\right)$$
を求めよ．

\bigskip
[3] $x=t \cos \theta$, $y=t \sin \theta$, $z=\theta$
$(0 < t < 1, 0 < \theta < 2\pi)$ とパラメータ表示される曲面の
面積を求めよ．

\bigskip
[4]
$$\align
P(x,y)&=-\dfrac{x^2y+y^3+2xy}{(x^2+y^2)^2},\\
Q(x,y)&=\dfrac{x^3+xy^2+x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2},
\endalign$$
とする．また原点中心，半径1の左回りの円周を
$\gamma_1$ とし，次に，4点$(1,1)$, $(-1,1)$, $(-1,-1)$, $(1,-1)$を
この順に線分で結び，さらに線分で$(1,1)$までつないで得られる左回りの
正方形を$\gamma_2$とする．このとき次の問いに答えよ．

(1) $\dsize\int_{\gamma_1} P(x,y)\;dx+Q(x,y)\;dy$ を求めよ．

(2) $\dsize\int_{\gamma_2} P(x,y)\;dx+Q(x,y)\;dy$ を求めよ．

\bye