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\documentstyle{amsppt}

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\NoBlackBoxes
\nopagenumbers
\def\phi{\varphi}
\def\lan{\langle}
\def\ran{\rangle}

\centerline{数理科学 I 中間テスト(2)}
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\rightline{2004年7月5日}
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室(電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

このテストは自筆ノート持ち込み可で行います．
(本や，人のノートのコピーは不可です．)
答案には途中の計算，説明などをきちんと書いてください．
答案用紙は両面1枚です．それに収まるように書いてください．

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[1] 次のそれぞれの場合について，$\phi(x,y)=0$ という条件の下で，
$f(x,y)$ の最大値，最小値を求めよ．(最大値または最小値がない
場合はないと答えよ．)

(1) $\phi(x,y)=x^3-3xy+y^3$, $f(x,y)=xy$.

(2) $\phi(x,y)=5x^2-6xy+5y^2-1$, $f(x,y)=x^2-y^2$.

(3) $\phi(x,y)=10x^2+16xy+10y^2-1$, $f(x,y)=7x^2-25y^2$.

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[2] 底面の半径が $a$, 高さが $b$ の直円錐がある．この側面の面積を
授業の方法で求めよ．

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[3] 関数 $y=(e^x+e^{-x})/2$ のグラフの $0\le x\le \log 2$ の部分を
$C$ とする．

(1) 曲線 $C$ の長さを求めよ．

(2) 曲線 $C$ を $xyz$-空間の中の曲線と思って $x$軸の周りに回転させる．
こうしてできる曲面の面積を求めよ．

\bye