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\documentstyle{amsppt}

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\nopagenumbers
\def\phi{\varphi}
\def\lan{\langle}
\def\ran{\rangle}

\centerline{数理科学 I 中間テスト(1)}
\medskip
\rightline{2004年6月14日}
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室(電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

このテストは成績には関係ありません．自筆ノート持ち込み可で行います．
(本や，人のノートのコピーは不可です．)
答案には途中の計算，説明などをきちんと書いてください．
答案用紙は両面1枚です．それに収まるように書いてください．

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[1] 次のそれぞれの場合について，$\phi(x,y)=0$ という条件の下で，
$f(x,y)$ の最大値，最小値を求めよ．(最大値または最小値がない
場合はないと答えよ．)

(1) $\phi(x,y)=2x^2+3y^2-1$, $f(x,y)=x-y$.

(2) $\phi(x,y)=x^4+y^4-1$, $f(x,y)=x^4+2x^2y^2+3y^4$.

(3) $\phi(x,y)=5x^2-6xy+5y^2-4$, $f(x,y)=x^2+y^2$.

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[2] 次のそれぞれの積分の値を求めよ．

(1) $\dsize\int_{x^2+y^2\leq 2x} (x^2+y^2)^{3/2} \;dx\;dy$

(2) $\dsize\int_{x^2+y^2+z^2\leq 1}x^2\;dx\;dy\;dz$

\bigskip
[3] (1) $x^3+y^3-3xy=0$ のグラフを書け．極値，漸近線などの求め方を
きちんと説明すること．

(2) $x^3+y^3-3xy=0$ 上の点 $(x_0, y_0)$ のうち，その点の近傍で
$x^3+y^3-3xy=0$ が $y=f(x)$ ($f(x)$ は $x$ の$C^1$ 級関数)
と解ける点はどれか．すべて求めよ．(単に「(1)のグラフより明らか」
としないで理由をきちんと説明すること．)

(3) (1) のグラフで囲まれた領域の面積を求めよ．

\bye