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\nopagenumbers

\centerline{複素解析学Iのまとめ}
\rightline{河東泰之}
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試験は，約200点分の問題の選択形式で，下の○印の項目から出ます．

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１０月１５日

○正則関数の定義（連続微分可能性）

○線積分の定義

・積分記号下の微分に関するlemma

・Cauchyの積分公式の特別の形（円周とその中心に関する場合）

・Cauchyの積分公式の特別の形（円周とその中心から\lq\lq 少し''外れた場合）

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１０月２２日

○Cauchy-Riemannの微分方程式

○代数学の基本定理

○べき級数の収束半径（Cauchy-Hadamardの公式）

○べき級数の項別微分可能性

○正則関数のべき級数展開

○一致の定理

○最大値の原理

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１０月２９日

・長方形の像に対するCauchyの積分定理

・区分的に滑らかな曲線

・細胞の定義

○Cauchyの積分定理

・Cauchyの積分定理の強い形

・正則関数の定義が，微分可能性だけでよいこと

○孤立特異点とLaurent展開

○極の位数と真性特異点

○留数と留数定理

・[例題] $\dsize\int_{-\infty}^\infty \frac{\sin x}{x}\;dx$の留数による計算

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１１月１２日

・除去可能特異点

・[例題] $\dsize\int_0^\infty \frac{1}{x^3+1}\;dx$の留数による計算

・[例題] $\dsize\int_{-\infty}^\infty \frac{\sin x}{x(e^x+e^{-x})}\;dx$
の留数による計算

・真性特異点の近傍でのふるまい

○Liouvilleの定理

○偏角の原理

○Rouch\'eの定理

・[例題] $\dfrac{1}{z^2}-\tan z$の実でない零点の数

○開写像定理

・正則関数が１対１ならば，導関数は0にならないこと

○Schwarzのlemma

・単位円を単位円に写す全単射の決定

・鏡像の原理（の簡単な形）

・Phragmen-Lindel\"ofの定理

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１１月１９日

○等角写像の定義と特徴付け

○回転数とCauchyの積分定理の拡張

○単連結性

○正則関数の広義一様収束

○正規族

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１１月２６日

○Riemannの写像定理

○一次分数変換と等角写像の例

・面積定理

・Bieberbachの定理

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１２月３日

○調和関数の定義と基本性質（平均値の性質，最大値の原理）

○調和関数は局所的には，正則関数の実部となること

○Poissonの公式

○円周に関するDirichlet問題の解法

○調和関数から，それを実部に持つ正則関数を作る [例題] $\dfrac{\sin x\cos x}
{\cos^2 x+\sinh^2 y}$

・[例題] $\dsize\int_0^\pi \log\sin x\;dx$の計算

○鏡像の原理の強い形

・二つの円環領域が等角写像で移りあえるための必要十分条件

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１２月１０日

・Schwarz-Christoffelの公式

○有理型関数の定義

○（全平面での）Mittag-Lefflerの定理

○$\dfrac{\pi^2}{\sin^2\pi z}=\dsize\sum_{n\in\Z}\dfrac{1}{(z-n)^2}$.

○[例題] $\dsize\sum_{n=0}^\infty\dfrac{1}{n^2}=\dfrac{\pi^2}{6}$,
$\dsize\sum_{n=0}^\infty\dfrac{1}{n^4}=\dfrac{\pi^4}{90}$.

○$\pi\cot\pi z=\dfrac{1}{z}+\dsize\sum_{n\in\Z, n\neq0}(\dfrac{1}{z-n}-
\dfrac{1}{n})$.

○無限積の収束

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１２月２４日

%（試験解説）

○（全平面で正則な関数の零点に関する）Weierstrassの定理

○基本乗積と種数

○$\sin\pi z=\pi z\dsize\prod_{n=1}^\infty\left(1-\dfrac{z^2}{n^2}\right)$.

○$\Gamma$関数の定義

○$\dfrac{d}{dz}\dfrac{\Gamma'(z)}{\Gamma(z)}=\sum_{n\ge0}\dfrac{1}{(z+n)^2}$

・Legendreの2倍公式

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１月２１日

○解析接続

○モノドロミー定理

\bye