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\nologo
\nopagenumbers

\centerline{複素解析学I期末テスト（1994年3月4日）}
\rightline{河東泰之}
\medskip

時間は，午後1時から3時までです．
自筆ノートのみ
持ち込み可です．問題は，200点分ありますので，選択して，100点分
（以上）解いてください．

\bigskip
[1] （30点）$\zeta(6)$を求めよ．ただし，$\zeta(s)$はRiemann $\zeta$
関数である．
%$\pi^6/945$

\bigskip
[2] （30点）
$$\frac{\pi}{\sin \pi z}=\lim_{m\to\infty}\sum_{n=-m}^m
(-1)^n\frac{1}{z-n}$$
を示せ．

\bigskip
[3] （30点）実軸上の有界閉区間$[a,b]$と
その上の連続関数$\phi(t)$を取る．
$$f(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_a^b\frac{\phi(t)}{t-z}\;dt,\quad
(z\notin[a,b]).$$
とおいたとき，
$\lim_{\e\to0+}(f(x+i\e)-f(x-i\e))$を，各実数$x$に対して求めよ．

%調和関数
\bigskip
[4] （30点）
複素平面上の集合$\{ z\in\C\mid \hbox{Im}\;z\ge 0, z\neq0\}$で連続で，
$\{ z\in\C\mid \hbox{Im}\;z>0\}$で調和な実数値関数$f(z)$で，
$x>0$で$f(x)=1$，
$x<0$で$f(x)=-1$を満たすものを一つあげよ．

%等角写像
\bigskip
[5] （40点）
複素平面上で，$(-\infty, -1]\cup [1,\infty)$
の補集合を単位円板
$\{ z\in\C\mid |z|<1\}$に写す正則な全単射を求めよ．

%Dirichlet級数
\bigskip
[6] （40点）
Dirichlet級数
$$
\dfrac{1}{1^s}-
\dfrac{1}{3^s}+
\dfrac{1}{5^s}-
\dfrac{1}{7^s}+
\dfrac{1}{9^s}-\cdots
$$
について，次の問いに答えよ．

(1)$\hbox{Re}\; s>\sigma$であれば，この級数が収束するような最小の実数$\sigma$
を求めよ．

(2)$\hbox{Re}\;s>\sigma$であれば，この級数が絶対収束するような最小の実数
$\sigma$を求めよ．

\noindent
いずれの場合も，答えの$\sigma$が題意を満たしていることをきちんと
証明すること．

\bye