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\nologo
\nopagenumbers

\centerline{複素解析学Iのまとめ・その２}
\rightline{河東泰之}
\bigskip

試験は，約200点分の問題の選択形式で，前回のプリントおよび
下の○印の項目から出ます．

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１２月１０日

・Schwarz-Christoffelの公式

○有理型関数の定義

○（全平面での）Mittag-Lefflerの定理

○$\dfrac{\pi^2}{\sin^2\pi z}=\dsize\sum_{n\in\Z}\dfrac{1}{(z-n)^2}$.

○[例題] $\dsize\sum_{n=0}^\infty\dfrac{1}{n^2}=\dfrac{\pi^2}{6}$,
$\dsize\sum_{n=0}^\infty\dfrac{1}{n^4}=\dfrac{\pi^4}{90}$.

○$\pi\cot\pi z=\dfrac{1}{z}+\dsize\sum_{n\in\Z, n\neq0}(\dfrac{1}{z-n}-
\dfrac{1}{n})$.

○無限積の収束

\bigskip
１２月２４日

%（試験解説）

○（全平面で正則な関数の零点に関する）Weierstrassの定理

○基本乗積と種数

○$\sin\pi z=\pi z\dsize\prod_{n=1}^\infty\left(1-\dfrac{z^2}{n^2}\right)$.

○$\Gamma$関数の定義

○$\dfrac{d}{dz}\dfrac{\Gamma'(z)}{\Gamma(z)}=\sum_{n\ge0}\dfrac{1}{(z+n)^2}$

・Legendreの2倍公式

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１月２１日

○（直接）解析接続

○曲線に沿った解析接続とその一意性

○ホモトピーの定義

○モノドロミー定理

○Abelのlemma

○Dirichlet級数の半平面での収束

○Dirichlet級数の収束範囲は実軸上の特異点で境界づけられること

○$\sum_{n=1}^\infty \dfrac{a_n}{n^s}$は，$\sum_{n=m}^{m'} a_n$
が有界なら$\hbox{Re}\; s>0$で収束

○（強い意味で）乗法的な関数とEuler積展開

○Riemann $\zeta$関数の$\hbox{Re}\; s>0$への解析接続

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１月２８日

○$s\to 1+$の時，$\sum_p p^{-s}\sim \log\dfrac{1}{s-1}$

○mod $m$の指標とその直交関係

○Dirichletの$L$関数 $L(s,\chi)$

○$\chi\neq1$の時，$L(s,\chi)$は，$\hbox{Re}\; s>0$で正則

○$L$関数の積 $\zeta_m(s)$は$s=1$を1位の極として持つ．

○素数の部分集合の解析的密度

○Dirichletの算術級数定理

\bigskip
Dirichletの算術級数定理関連の部分は，試験範囲ですが，この部分からは
基礎的なことしか出題しません．

\bye