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\centerline{1996年度解析学VII・関数解析学・演習問題}
\rightline{5/29/1996}
\rightline{河東泰之}

\bigskip [24]
$\C$係数のvector空間$X$上に，二つの実数値関数$p_1, p_2$で次の
条件を満たすものがあるとする．（下で，$j=1,2$である．）

(1) $0\le p_j(x)< \infty$. 

(2) $x,y\in X$について，$p_j(x+y)\le p_j(x)+p_j(y)$.

(3) $c\in\C$, $x\in X$について$p_j(cx)=|c|p_j(x)$.

さらに，$X$上の$\C$-linearな汎関数$\varphi$があって
$|\varphi(x)|\le p_1(x)+p_2(x)$を満たしているとする．
この時，$X$上の$\C$-linearな汎関数$\varphi_1, \varphi_2$が
$|\varphi_j(x)|\le p_j(x)$, $(j=1,2, x\in X)$,
$\varphi=\varphi_1+\varphi_2$となるように取れることを示せ．

\bigskip [25]
Banach空間$X$がreflexiveであることと，$X^*$がreflexive
であることは同値であることを示せ．

\bigskip [26]
Banach空間$X$の二つの元$x,y$について，
すべての$\varphi\in X^*$に対し$\varphi(x)=\varphi(y)$
が成り立てば，$x=y$であることを示せ．

\bigskip
[21]番にミスプリントがありました．(1), (2)の正しい式は，
次のとおりです．

(1) $Y^\bot$は$X^*$の閉部分空間である．

(2) ${Y^\bot}{}^\bot$は$Y$の閉包に等しい．

\bigskip
また，最終成績の式も，
$0.6x_1+0.2\max(x,x_1)+0.2\max(x, x_2)$というのはもちろん間違いで，
$0.6x+\max(0.2x,x_1)+\max(0.2x, x_2)$が正しい式です．
\bye