2022冬学期，水曜13:00-14:45

理学部数学科：幾何学XH / Geometry and Topology XH（Code 0505086, FSC-MA4724L1)
大学院数理科学研究科「リー環論」（901-21）との合併科目

10月5日（木）開講　第一回目はオンライン

リー群とリー環の表現論とその手法
Lie Groups and Analytic Approach to Representation Theory

リー群およびリー環の有限次元およおび無限次元の表現の理論について、代数的手法だけではなく、解析的なアイディアおよび幾何的な手法について基本的に重要な事柄を簡単な例を用いて解説し、時間が許せば最先端の話題にも触れる。

• 10/5 (水)　第1講 (on line)　リー環の例
• 10/12 (水)　第2講 (on line)　冪零リー環、可解リー環、単純リー環、半単純リー環、可解リー環、Levi-Malcevの定理
• 10/19 (水)　第3講義 (対面)
  Limit Algebraについて
  参考文献
• 10/26 (水)　第4講 (対面)
  参考図書
  1. topologyとdifferential topology, リー群の位相構造と微分構造（Hilbert の第５問題の解決) とミルナーのexotic球面（代数構造がない場合）
  2. リー群を微分多様体上で定義する流儀
     左不変ベクトル場と右不変ベクトル場の微妙な違い
  3. リー群を線型群として定義する流儀
     von Neumann-Cartanの定理
  ２と３の対応からくるリー環は同型（あるいは反同型）
• 11/2 (水)　第5講 (対面)
  随伴表現、リー群とリー環の対応、
  等質空間の接空間、
  ２つあるいは3つの部分群の積と内部点の存在
• 11/9 (水)　第6講 (対面)
  簡約リー環の特徴づけ
  簡約リー環の構造
  簡約リー群のCartan分解
• 11/16 (水)　第7講 (対面)
  ●実簡約リー群の構造論
  Cartan分解

  参考図書

  ●リーマン対称空間
  参考図書
  Helgason, Differential Geometry, Lie Groups, and Symmetric Spaces

• 11/30 (水)　第8講 (対面)
  ●自然な測度
  　　　　　　　１．擬リーマン多様体の場合
  　　　　　　　２．群が作用している多様体の場合
  ●実簡約リー環の構造定理
  　　　　　　　　制限ルート系とルート空間分解
  　　　　　　　　極大可換部分空間は内部自己同型で互いに共役(Huntの証明)
  　　　　　　　　古典群での例
• 12/7 (水) 第9講 (対面)
  局所コンパクト群のHaar測度
  リー群の場合のHaar測度についての２つの見方
  　　　　　　　　(微分多様体としてみる場合、行列群としてみる場合のGelfandの方法）
  　　　　　モジュラー関数
  　　　　　ax+b群での例
  　　　　　簡約リー環の構造論：岩澤分解,Gelfand-Naimark 分解, Cartan分解
  　　　　　極小放物型部分代数、Borel部分代数
• 12/14 (水)　第10講 (対面)
  実簡約リー群のCartan分解と測度公式
  リーマン対称空間
• 12/21 (水)　第11講 (on line)
  岩澤分解に関する測度公式
  　　　　　　　線型表現Vに付随するρ_V 関数
  　　　　　　　作用が proper ではないときに、それを定量的に見る手法
  力学系のアイディア
  定理 線型表現において 交差体積 vol (S ∩ g S) が L^2+ε
  (G) ⇔　 ρ_g　≦ ２\rho_V

  参考文献

• 1/4 (水)　12講 (on line)
  行列要素の無限遠での振る舞い
  緩増加表現
  緩増加等質空間の特徴づけ
• 1/11 (水)　第13講
  

© Toshiyuki Kobayashi