Global Geometry and Analysis on Locally Symmetric Spaces with Indefinite-metric. Colloquium. The University of Tokyo, Tokyo, Japan, 11 July 2014.

The local to global study of geometries was a major trend of 20th century geometry, with remarkable developments achieved particularly in Riemannian geometry. In contrast, in areas such as preudo-Riemannian geometry, familiar to us as the spacetime of relativity theory, and more generally in pseudo-Riemannian geometry of general signature, surprising little is known about global properties of the geometry even if we impose a locally homogeneous structure.

I plan to explain two programs:

1. (global shape) Existence problem of compact locally homogeneous spaces, and deformation theory.

2. (spectral analysis) Construction of the spectrum of the Laplacian, and its stability under the deformation of the geometric structure.

by taking anti-de Sitter manifolds as a typical example.


弦楽器では、弦を短くするにつれて音が高くなります。 同様に、閉リーマン面上のラプラシアンの固有値はタイヒミュラー空間上の関数として 必ず変動することが知られています。 後者は局所的に同じ曲がり方をしたリーマン多様体(双曲幾何)を舞台にしたものですが、 もっと一般の不定値計量をもつ空間では何が起こるでしょうか? そもそも、大域解析の舞台となる良い空間が存在するのでしょうか。


2. (スペクトル理論)変形しても音程が変わらないことがある?


これらの問題は多岐にわたる数学の分野が関わっていますが、例として 反ドジッター空間(局所的に同じ曲がり方をしたローレンツ多様体)を 用いて、学部の4年生でもアクセスできる形で初等的に話す予定です。

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© Toshiyuki Kobayashi