- １０月１２日
§1 Topological group and Lie group
§1.1 Definition of Lie groups
・Definition of topological group
・Definition of Lie group
・ Hilbert's 5th problem
§1.2 Example of Lie groups
・Real number field: R
・Real vector space: R^n
・Direct product of Lie groups
・General linear group: GL(n,R)
・Special linear group: SL(n,R)
・Othogomal group: O(n)
・Special othogomal group: SO(n)
・Indefinite orthogonal group: O(p,q)
・{z \in C | |z|=1 } = S1
・{z \in H | |z|=1 } = S3 (where ''H'' is the quarternionic number
field)
まとめ:
最初に位相群を導入し、多様体構造を持つ位相群としてリー群の定義を与えた
（位相多様体、可微分多様体、実解析的多様体のどれで定義しても同一の概念になる）。
局所コンパクト群でない位相群、リー群でない局所コンパクト群の例。
リー群の例として一般線型群やいくつかの古典群を紹介した。
微分多様体としての構造の証明には、von Neumann-Cartan
の定理（後に詳しく証明を行う）を用いた。また
コンパクトリー群の例として直交群や特殊直交群を挙げ、不定値直交群が非コンパクトで
あることや、n 次元球面 S^n にリー群の構造が入るのは n = 1,3
の場合に限ること、および、いくつかの演習問題を紹介した。
- １０月１９日
§2 Matrix valued functions
§2.1 Operator norm and holomorphic functions
・Definition of exponential and logarithm
§2.2 Matrix valued holomorphic functions
・logarithm map is a inverse mapping of exponential map near zero matrix
・If AB = BA, then (exp A)(exp B) = exp (A+B)
・Regularity of exp A for any A in M(n,C)
まとめ:
Ｃ上の多元環 End(V) 上の作用素ノルムを用いて、End(V)上定義され、
End(V)に値をもつ冪級数とその収束半径を一変数の正則関数の場合と比較する補題を証明し、
行列値の正則関数の基本的な性質を述べた。特別な場合として exp や log を定義した。
また、exp の性質として、ゼロ行列の付近では、log が逆写像になっていること
を示し、さらに、互いに可換な行列 A, B については、指数法則 (exp A)(exp B) = exp (A+B) が成り立つことや、exp の像はすべて可逆であることを見た。
- １０月２６日
§3 Lie groups and Lie algebras
§3.1 Asymptotic estimate of exp(tX)exp(tY)
§3.2 Lie algebra of closed linear groups
・Definition of Lie algebras of closed linear groups
・Proof of ''Lie algebras of closed linear groups are subspaces of
M(n,R) with bracket''
§3.3 Abstract definition of Lie algebras
・Definition of abstract Lie algebras
まとめ:
前回の講義で、指数写像 exp: M(n,R) → GL(n,R) を定義したが、一般には
exp(tX)exp(tY) = exp(t(X+Y)) (X, Y は M(n,R) の元) のような等式は成り立た
ない。
今回の講義ではまず、exp(tX) と exp(tY) の積やその交換子などについて、二次までの無限小評価を行った。
また, GL(n,R) の閉部分群の ''Lie環'' を、指数写像を用いて定義し、それがベクトル空間の構造をもち、しかも抽象的に定義される Lie 環の公理をみたしていることを示した。
- １１月２日
§4 von Neumann -- Cartan's theorem
§4.1 GL(n,R) case
・Logarithm defined on balls near I_n in GL(n,R)
§4.2 Exponential map and standard coordinates
・Standard coordinates of the first kind
・Standard coordinates of the second kind
§4.3 Coordinate near I_n in G
・Exponential map gives a coordinates near I_n in G
目的:
von Neumann-Cartan's theorem: ''Any closed subgroup G in GL(n,R) is a
Lie group''
まとめ:
von Neumann-Cartan の定理を証明するため、GL(n,R) の閉部分群 G について、その座標を構成したい。
まずGL(n,R)の場合にそれがリー群になっているということは
行列の座標を用いると明らかであるが、指数写像を通した座標系で
この事実を再定式化してその意味を考察した。
続いて、第１種および第２種標準座標近傍を特別な場合として含む
座標近傍の考え方を説明した。
最後に、閉部分群Ｇに対し、単位行列付近での座標を構成し、
座標近傍の大きさを作用素ノルムで評価した
(証明の残りの部分は次週につづく)。
- １１月９日
§4.4 Analytic structure on G
§4.5 Analyticness of the product on G
§5 Lie groups and Lie algebras
§5.1 Representations of Lie groups and Lie algebras
・Definition of representations of Lie algebras
・Adjoint representation
・Differential representations
まとめ：
前回、G の単位元の近傍において座標を構成したが、今回の講義では、それを G
自身の左作用で移動させることによって、G の多様体構造を定義し、それが G に
リー群の構造を定めることを示した。
これにより、von Neumann-Cartan の定理の証明が完成した。
また、リー環の線型表現を定義し、随伴表現や、微分表現などの例を紹介した。
- １１月３０日
§6 Group actions and homogeneous spaces
§6.1 Basic notion on group actions
・Definitions of transitive actions and isotropy subgroups
・Definitions of continuous actions and differential actions
§6.2 Coset space of a topological group
・''Any open subgroup of a topological group is closed''
・Definitions of homogeneous spaces as a topological space
・''A homogeneous space G/H is Hausdorff if and only if H is closed in G''
・Examples
S1 = R/Z
T2 = R2/Z2
R/Q is a non-Hausdorff homogeneous space
§6.3 Examples of homogeneous spaces
・Sphere: S^{n-1} = O(n)/O(n-1)
・Projective space: P^{n-1}R = GL(n,R)/P_{1,n-1}
・Grassmann manifold Gr_k(R^n) = GL(n,R)/P_{k,n-k}
まとめ：
位相群 G をその部分群 H で割った商空間 G/H を, 等質空間とよぶ.
講義では, 等質空間 G/H がHausdorff であることと, H が閉部分群であること
が同値であることなどを紹介した.
また, 位相空間 X に群 G が推移的に作用するとき, ある点 x \in X の固定化
部分群を H とすれば, X は等質空間 G/H と同一視できる.
講義では, 例として球面, 射影空間, グラスマン多様体への推移的な群作用を構
成し, 具体的な点に対する固定化部分群を計算することで,
それらの空間を等質空間として書いて見せた.
- １２月７日
§7 Homogeneous manifolds.
§7.1 Analytic manifold structure on homogeneous spaces.(?)
・Statement of Theorem 7.1.1.
・''G/H is Hausdorff if and only if H is closed in G.''
§7.2 Proof of Theorem 7.1.1.
・Coordinates near xH in G/H (x in G).
・A real analytic structure on G/H.
目的:
定理 7.1.1: 線型リー群 G と, その閉部分群 H に対して, 等質空間 G/H には
自然な実解析的多様体構造が入る. さらにその実解析構造について, 商写像 G →
G/H や G の G/H への左作用は実解析的である.
まとめ：
一般に, 多様体を同値関係で割って商位相を入れたとき, その商空間は自然な多
様体の構造を持つとは限らず, Hausdorff ですらないこともある.
しかし, 線型リー群 G とその閉部分群 H に対しては, 等質空間 G/H はいつで
も自然な多様体の構造を持つ (この主張は一般のリー群 G についても正しいが,
ここでは深入りしない).
講義ではまず, 位相群 G とその閉部分群 H に対して, 等質空間 G/H は
Hausdorff になることを示し,
さらに G がGL(n,R)の閉部分群で, H が G の閉部分群であるとき, G/H には実
解析的多様体の構造が入ることを証明した.
その手法としては, G に定義された指数写像による座標(von-Neumann の定理)
を, G, H のリー環に合わせてうまく制限して, G/H の座標を構成するという方
法を用いた.
- １２月１４日
§7.2 Proof of Theorem 7.1.1. (前回のつづき)
・''The action of G on G/H is analytic.''
・''The quotient map is analytic.''
§8 Complex Lie group and complex homogeneous spaces.
§8.1 Complex Lie group and complex homogeneous spaces.(?)
・Definition of complex manifolds.
・Definition of complex Lie groups.
・''Both G, H are complex linear Lie groups (G ⊃ H : closed) ⇒ G/H
becomes a complex manifold.''
§8.2 Examples of complex Lie groups and complex homogeneous spaces.
・Examples of complex Lie groups
・GL(n,C), SL(n,C), O(n,C)
まとめ：
前回紹介した定理7.1.1 の証明を完成させて, 構成した G/H の実解析多様体構
造が自然なものであることを示した.
また, 複素多様体や複素リー群の定義を行い, 複素線型リー群のペアから得られ
る等質空間が複素多様体になることを述べた.
さらに, 複素線型リー群の具体例として, SL(n,C) や SL(n,C), O(n,C) を紹介した.
- １２月２１日
§9 Flag manifold
§9.1 Definition of flag manifolds
・Definition of flag manifolds B_(n_1,…,n_l).
§9.2 GL(n,C)-actions on flag variety
・GL(n,C) acts transitively on B_(n_1,…,n_l).
・Isotropy group P is a complex Lie group.
§9.3 U(n)-action on flag manifold
・U(n) acts transitively on B_(n_1,…,n_l).
まとめ：
複素ベクトル空間 V に対して, 一次元部分空間全体の集合に位相構造を与えた
ものが複素射影空間であるが,
その一般化として, 長さ一定の部分空間の列全体の集合に位相構造を与えたもの
を旗多様体という.
旗多様体には GL(n,C) が推移的に作用するため, その等質空間としての複素多
様体構造を持つ.
また講義では, GL(n,C)の部分群であるユニタリ群の作用も推移的であることを
示し, その固定化群も決定した.
特に旗多様体はコンパクトな複素多様体である.
- １月１１日
§10 Differential of exponential map
§10.1
・The exponential map : M(n,R) → GL(n,R) is neither injective nor surjective
・exp : Symm(n,R) → Symm(n,R)_+ is bijective
§10.2 Formula for d(exp)
・Expression formula for d(exp)
まとめ：
指数写像 exp: M(n,R) → GL(n,R) は全射でも単射でもない.
しかし, 対称行列全体の集合 Symm(N,R) 上に制限して考えれば, すべての固有
値が正であるような対称行列全体の集合 Symm(N,R)_+ への全単射を与える.
この講義ではさらに, 指数写像の微分を明示的に表す公式を示し, 上の全単射が
微分同相であることを示す準備をした.
- １月１８日
§10.3
・''exp: g → G is non-degenerate at X in g if and only if any
eigenvalues of adX is not in 2πiZ''
§11 Cartan decomposition
§11.1
・exp: Symm(N,R) → Symm(N,R)_+ is diffeo.
§11.2 Cartan decomposition for GL(N,R)
・Cartan decomposition for GL(N,R)
・Cartan decomposition for GL(N,C)
まとめ：
今回の講義では, O(N)× Symm(N,R) から GL(n,R) への写像 (k,X) → k exp X が
微分同相であることを示した(カルタン分解).
特に, GL(N,R) は多様体としてコンパクト多様体とベクトル空間の直積であり,
この分解から GL(N,R) の幾何構造についてのさまざまなことが分かる.
この証明のポイントは, exp : Symm(N,R) → Symm(N,R)_+ が微分同相であるとい
うことである.
講義中では, 前回示した指数写像 exp : M(N,R) → GL(N,R) の微分公式から, X
in M(N,R) において指数写像が局所微分同相であるための必要十分条件を与え,
その系として exp : Symm(N,R) → Symm(N,R)_+ が微分同相であることを得た.