数理科学II（文系）
金曜1限，2009年冬，東京大学

数学における真理は時間も空間も越えたものですが、人類が到達した「知の体系」としての数学の理論は、19-20世紀に飛躍的に発展しました。 そして、現在も次々と新しい理論が生まれているのです。

この講義では、初等整数論や暗号理論を中心に「現代数学」の考え方にふれながら、数学という学問の紹介を試みようと思います。

TA: 古場一

• 授業期間　１０月９日（金）−１２月１８日（金）、１月８日（金）−２２日（金）
• 学期末試験期間　２月１日（月）−２月１２日（金）
• 教養学部の日程により、１１月２０日（金）は駒場祭のため全日講義はありません。また、１月２８日（木）−１月２８日（金）は補講期間になります。

講義のまとめ：

• １０月９日（金）　第１回
  見えないところに使われている数学
  暗号の歴史：時代のニーズと理論・技術の進歩
  大きな大きな数を評価するための、いくつかのアイディア
  
• １０ 月１６日（金）　第２回
  素数について
  素数が無限個あることの二通りの証明
  素数に関する未解決の問題と解決した難問
  
• １０月２３日（金）　第３回
  除法定理と合同式
  合同類
  合同類の和と積
• １０月３０日（金）　第４回
  日常で無意識に使っている mod n の計算法（十干十二支、曜日、…）
  ギリシャの数学と和算、数学の発展における論証の役割
  ユークリッドの互除法の手順と各ステップの抽象的な証明
  ユークリッドの互除法の計算速度
• １１月７日（金）　第５回
  ユークリッドの互除法
  合同式における除法
  フェルマーの小定理
  
• １１月１３日（金）　第６回
  「昔」の暗号と「今」の暗号の比較
  「今」の暗号の仕組み
  秘密鍵と公開鍵
  RSA 暗号を初等整数論（フェルマーの小定理等）を用いて実践する具体的なアイディア
• １１月２７日（金）　第７回
  フェルマーの小定理の一般化がどのように使われるのかの例示
  例１： 1 から 15 までで 3 でも 5 でも割り切れない数はいくつあるか
  例２： 相異なる素数 p, q に対して 1 から p × q までに p でも q でも 割り切れない数はいくつあるか
  定理の証明
• １２月４日（金）　第８回
  フェルマーの小定理と第７回の定理の復習
  フェルマーの小定理の一般化の証明
• １２月１１日（金）　第９回
  素数の分布
  素数定理
  究極の複利
  自然対数
• １２月１８日（金）　第１０回
  ＲＳＡ暗号の仕組み（例とまとめ）
  １０桁の数と２００桁の数に関する計算時間の評価
  レポート課題

  訂正：　講義中、私の公開鍵を３３、１３とした署名文章を 説明しましたが、その文字列の 一つにミスがありましたので訂正します。私からの署名つきの文章は

  7 14 6 6 31 18 7 1 13 です。
  [ 資料（mod 33での冪乗表） ]
  [ 資料（xⁿ mod 5 の値） ]
  
• １月８日（金）　第１１回
  今日は金曜日，10ⁿ 日後は何曜日？
  合同式を使った方程式について
  フェルマーの小定理
• １月１５日（金） 第１２回
  いろいろな方程式（一次方程式 a x = b，n 次方程式 xⁿ = a）
  一次方程式の解を調べる（実数の範囲，複素数の範囲，素数 p を法とした数の範囲）
  複素数と複素平面— n 次方程式の解についての準備
• １月２２日（金） 第１３回
  複素数と複素平面（続き）
  xⁿ = 1 の解（実数の範囲，複素数の範囲）
  xⁿ = a の素数 p を法とした範囲での解について
  原子根，離散対数について

• 定期試験　２月５日（金） １限 (集合 8:45) 9:00-10:30　1106教室
  [ 定期試験の問題 ]

© Toshiyuki Kobayashi