有限W代数 vs アファインW代数

Alberto De Sole and Victor G. Kac

Abstract: セクション1では頂点代数$V$の各種の同値な定義を復習する．ここでの新規な点は$\lambda$ブラケットの不定積分による定義である．セクション2ではもっとも一般的な枠組みで，ジュー代数$Zhu_{\Gamma}V$を定義する．これは，ハミルトニアン$H$の与えられた頂点代数$V$に対し$\Gamma$-ねじれ表現をコントロールする結合的代数である．この構成の重要な特別な場合は$H$ねじれジュー代数$Zhu_H V$である．セクション3では非線形リー共形代数および非線形リー代数の理論を復習する．その普遍包絡頂点代数および普遍包絡代数はそれぞれ，自由生成頂点代数およびPBW生成結合代数の重要なクラスをなす．さらに非線形リー共形代数$R$の$H$-ねじれジュー非線形リー代数$Zhu_H R$を導入し，その普遍包絡代数が，$R$の普遍包絡頂点代数の$H$-ねじれジュー代数に同型であることを証明する．セクション4での，あとで必要になるコホモロジー的内容の議論のあと，セクション5では，量子ハミルトニアン還元の方法によるアファインおよび有限$W$代数の構成と基本的性質を復習する．これらは，最もよく研究されている自由生成頂点代数とPBW生成結合的代数の例の一部である．セクション3, 4で発展させた仕組みを用いて，アファイン$W$代数の$H$-ねじれジュー代数は同じデータに対応する有限$W$代数に同型であることを示す．セクション6ではポアソン頂点代数のジュー代数を定義し，その準古典極限を議論する．付録では，有限$W$代数の三つの定義の同値性を確立する．