アフィン頂点代数の極小W代数への共形埋め込み：分解

D. アダモヴィッチ，V.G. カッツ，P. メーゼネーダー フライリア，P. パピ，O. ペルシェ

Abstract:
極小単純アフィンW代数 $W_k({\mathfrak g}*,\theta)$ を，共形レベル $k$ における，すなわち $W_k({\mathfrak g}*,\theta)$ の ${\mathscr V}_k(g^\natural)$ のヴィラソロベクトルが等しいときに，その極大アフィン部分代数 ${\mathscr V}_k(g^\natural)$ に対するモジュールとしての明示的な分解を計算する方法を示す．特にアフィン・フュージョンルールの分岐則の決定への応用を強調する．${\mathfrak g}^\natural$ が半単純環である時はほとんどすべての場合について，適当な共形レベル $k$ について $W_k({\mathfrak g}*,\theta)$ は ${\mathscr V}_k(g^\natural)$ の単純モジュールによる拡大に同型なことを示す．ある場合には $W_k({\mathfrak g}*,\theta)$ は${\mathscr V}_k(g^\natural)$ の単純カレント拡大であること示すことができる．ある種の共形レベルにおいてより複雑な，非単純カレント拡大の場合を解析するため，$k=-8/3$ の場合の単純W代数 $W_k(sl(4),\theta)$ の明示的な実現を与える．[3]で予想されたように，$W_k(sl(4),\theta)$ は頂点代数 ${\mathscr R}^{3}$ に同型であることを証明し，スクリーン作用素を用いて無限個の特異ベクトルを構成する．さらに頂点代数 $V_k(sl(n))$ に対しある許容的なレベルで，また $V_k(sl(m|n))$, $m\neq n$, $m, n\ge1$ に対し任意のレベルで，単純カレントモジュールの新しい族を構成する．