数学 IV 演習問題 (2001.12.21) http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/∼t-saito/mIV/mIV.html

問題 A ∈ M_{4}(C) を行列

A = (\begin{matrix}5 & −1 − 2i & 3i & 2 + i \\ 1 + 2i & 2 & −2 − i & 0 \\ −3i & −2 − i & 5 & −1 − 2i \\ 2 + i & 0 & 1 + 2i & 2 \end{matrix})

とし, V を C^{4} の部分空間

V = \{x = (\begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{matrix}) ∈ C^{4}|x_{3} = ix_{1}, x_{4} = ix_{2}\}

とする。 (1) A は正規行列であることを示せ。

(2) V の直交補空間を V^{⊥} とする. 部分空間 V の基底と V^{⊥} の基底をそれぞれ 1 つずつ与えよ.

(3) C^{4} の正規直交底 x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4} で, x_{1}, x_{2} は V の基底で x_{3}, x_{4} は V^{⊥} の基底であるようなものを 1 つ与えよ.

(4) U ∈ M_{4}(C) を, 列ベクトル x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4} を順に横にならべて得られる行列 U = (x_{1} x_{2} x_{3} x_{4}) とする. U^{∗}U = UU^{∗} = I であることを示せ.

(5) AV ⊂ V, AV^{⊥} ⊂ V^{⊥} を示せ.

(6) B = U^{∗}AU, つまり AU = UB をみたす行列 B を求めよ.

(7) B = (\begin{matrix}B_{1} & 0 \\ 0 & B_{2} \end{matrix}), B_{1}, B_{2} ∈ M_{2}(C) とおく. \frac{1}{\sqrt{2}}B_{1} はユニタリ行列, B_{2} はエルミー

ト行列であることを示せ.

(8) D_{1} = V_{1}^{∗}B_{1}V_{1}, D_{2} = V_{2}^{∗}B_{2}V_{2} がそれぞれ対角行列となるようなユニタリ行列 V_{1}, V_{2} ∈ M_{2}(C) を, それぞれ 1 つずつ求めよ.

(9) U′ = (\begin{matrix}V_{1} & 0 \\ 0 & V_{2} \end{matrix}) ∈ M_{4}(C) とおく. W = UU′ を求めよ

(10) W はユニタリ行列であることを示せ.

(11) W^{∗}AW を求めよ。