代数学 II 演習問題 (2001.12.20)

http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/∼t-saito/algII/algIIp.html 問題 9.1 次のようにして, テンソル積 C ⊗_{R} C は, 直積環 C × C と同型であることを示せ.

A. (1) C を多項式環 R[X] の商環 R[X]/(f(X)) として表わせ.

(2) テンソル積 C ⊗_{R} C は, C[X]/(f(X)) と同型であることを示せ.

(3) Chinese Remainder Theorem を使って環の同型 C[X]/(f(X)) → C × C を作り, 合成として同型 C ⊗_{R} C → C × C を定めよ.

B. (1) 写像 C × C → C × C : (x, y) ↦ (xy, xȳ) は, 環の準同型 C ⊗_{R} C → C × C をひきおこすことを示せ.

(2) (1) で定めた環の準同型は同型であることを示せ.

C. A の同型と B の同型は同じかどうか調べよ. 同じでなかった場合は, A の同型を修正して同じになるようにせよ. 問題 9.2 n, m を自然数とする.

(1) R, R′ を環とし, f : R → R′ を環の準同型とする. x_{1}, …, x_{m} ∈ R^{n} とし, f : R → R′ によってひきおこされた写像 R^{n} → R^{′n} も f で表わす. 左 R′ 加群の標準同型

R′ ⊗_{R} (R^{n}/(x_{1}, …, x_{m})) → R^{′n}/(f(x_{1}), …, f(x_{m}))

を定めよ.

(2) R, R′ を可換環とし, a : R → R′ を環の準同型とする. f_{1}, …, f_{m} ∈ R[X_{1}, …, X_{n}] とし, a : R → R′ によってひきおこされた写像 R[X_{1}, …, X_{n}] → R′[X_{1}, …, X_{n}] も a で表わす. R′ 上の環の標準同型

R′ ⊗_{R} (R[X_{1}, …, X_{n}]/(f_{1}, …, f_{m})) → R′[X_{1}, …, X_{n}]/(a(f_{1}), …, a(f_{m}))

を定めよ. 問題 9.3 K を体とする. K 上の環の準同型

K[T, T^{−1}] → K[X, Y]/(Y^{2} − X^{3}) ⊗_{K[X]} K[X, X^{−1}]

を T ↦ Y ⊗ X^{−1} とおいて定めると, これは環の同型であることを示せ. 問題 9.4 n, m ≥ 1 を自然数とする. 次の Z 加群を求めよ.

(1) Z/nZ ⊗_{Z} Z[\frac{1}{m}], (2) Z[\frac{1}{n}] ⊗_{Z} Z[\frac{1}{m}], (3) Q ⊗_{Z} Z/nZ,
(4) Q ⊗_{Z} Z[\frac{1}{m}], (5) Q ⊗_{Z} Q, (6) Q/Z ⊗_{Z} Z[\frac{1}{m}],
(7) Q/Z ⊗_{Z} Z/nZ, (8) Q/Z ⊗_{Z} Q/Z, (9) Q ⊗_{Z} Q/Z.

問題 9.5 K を体とする.

(1) L が K の n 次分離拡大で K̄ が K の代数閉包のとき, K̄ ⊗_{K} L を求めよ.

(2) L が K の n 次 Galois 拡大のとき, L ⊗_{K} L を求めよ.

(3) L が有限体 F_{p} = Z/pZ 上の 1 変数有理関数体 F_{p}(X) で, K が部分体 F_{p}(X^{p}) のとき, L ⊗_{K} L を求めよ. 問題 9.6 (1) 環のテンソル積 Z[\sqrt{−1}] ⊗_{Z} Z[\sqrt{−1}] は直積環 Z[\sqrt{−1}] × Z[\sqrt{−1}] と同型でないことを示せ.

(2) 環のテンソル積 Z[\frac{1}{2}][\sqrt{−1}] ⊗_{Z} Z[\sqrt{−1}] は直積環 Z[\frac{1}{2}][\sqrt{−1}] × Z[\frac{1}{2}][\sqrt{−1}] と同型なことを示せ.