代数学 II 演習問題 (2001.11.08)

http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/∼t-saito/algII/algIIp.html

問題 5.1 L を線形写像 Z^{3} → Z : (x, y, z) ↦ x + y + z の核とする.

(1) L の基底を 1 つ与えよ.

(2) L′ を (1, 2, −3), (3, −2, −1) で生成される L の部分加群とする. L の基底 (e_{1}, e_{2}) と自然数 a_{1}, a_{2} で, a_{1}e_{1}, a_{2}e_{2} が L′ の基底でかつ a_{1}|a_{2} となるものを与えよ.

(3) L′′ を (2, 4, −6), (9, −6, −3) で生成される L の部分加群とする. L の基底 (e′_{1}, e′_{2}) と自然数 b_{1}, b_{2} で, b_{1}e′_{1}, b_{2}e′_{2} が L′′ の基底でかつ b_{1}|b_{2} となるものを与えよ.

問題 5.2(堀田良之代数入門問 12.2) L を次の行列 A ∈ M_{3,m}(Z) が定める線形写像 Z^{m} → Z^{3} の像とする. Z^{3} の基底 x_{1}, x_{2}, x_{3} と, 条件 a_{1}|a_{2}|a_{3} をみたす自然数 a_{1}, a_{2}, a_{3} で, a_{1}x_{1}, a_{2}x_{2}, a_{3}x_{3} が L の基底となるようなものをそれぞれについて 1 つ与えよ.

(1) (\begin{matrix}1 & 0 & 3 \\ 1 & −3 & 3 \\ 1 & 3 & −3 \end{matrix})_{,} (2) (\begin{matrix}6 & 46 & 29 & 155 \\ 18 & 146 & 90 & 492 \\ 6 & 48 & 30 & 162 \end{matrix})_{.}

問題 5.3(堀田良之代数入門問 13.2) A = (\begin{matrix}4 & −1 & −3 \\ −3 & −5 & 10 \\ 0 & −3 & 4 \end{matrix}) ∈ M_{3}(C) とし, V = C^{3} を

X 倍を A 倍と定めることにより C[X] 加群と考える.

(1)V と C[X] 加群 C[X]/(X − 1)^{3} との同型を与えよ.

(2) C[X]/(X − 1)^{3} の基底 (X − 1)^{2}, (X − 1), 1 の像をならべて得られる行列 P を求め, A の Jordan 標準形 P^{−1}AP を求めよ.

問題 5.4(同上) A = (\begin{matrix}5 & −4 & 12 \\ 1 & 0 & 3 \\ −1 & 1 & −2 \end{matrix}) ∈ M_{3}(C) とし, V = C^{3} を X 倍を A 倍と定める

ことにより C[X] 加群と考える.

(1)V と C[X] 加群 C[X]/(X − 1)^{2} ⊕ C[X]/(X − 1) との同型を与えよ.

(2) C[X]/(X − 1)^{2} ⊕ C[X]/(X − 1) の基底 (X − 1, 0), (1, 0), (0, 1) の像をならべて得られる行列 P を求め, A の Jordan 標準形 P^{−1}AP を求めよ.