代数学 II 演習問題 (2001.10.18)

http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/∼t-saito/algII/algIIp.html 問題 3.1 次の環の乗法群と Z^{r} ⊕ Z/a_{1}Z ⊕ ⋯ ⊕ Z/a_{n}Z (ただし a_{1}| ⋯ |a_{n} ≠ 0) の型のアーベル群との同型を与えよ

(1)  Z[\frac{1}{2}], (2)  Z[X, X^{−1}],  (3)  Z[\frac{1}{5}, \sqrt{−1}],
(4) Z/45Z, (5) Z[X]/(X^{3} + X), (6) (Z/5Z)[X, (X^{2} + 1)^{−1}].

問題 3.2 次の行列 A ∈ M_{m,n}(Z) が定める線形写像 Z^{n} → Z^{n} の余核と Z^{r} ⊕ Z/a_{1}Z ⊕ ⋯ ⊕ Z/a_{n}Z (ただし a_{1}| ⋯ |a_{n} ≠ 0) の型のアーベル群との同型を与えよ

(1) (\begin{matrix}1 & 0 & 3 \\ 1 & −3 & 3 \\ 1 & 3 & −3 \end{matrix})_{,} (2) (\begin{matrix}6 & 46 & 29 & 155 \\ 18 & 146 & 90 & 492 \\ 6 & 48 & 30 & 162 \end{matrix})_{.}

問題 3.3 体 K 係数の n 次正方行列 A ∈ M_{n}(K) に対し, X 倍を A の作用と定めることにより, K^{n} を K[X] 加群とみたものを V で表わすことにする. 下の K, A それぞれについて, V と K[X]/(f_{1}) ⊕ ⋯ ⊕ K[X]/(f_{n}) (ただし f_{1}| ⋯ |f_{n} ≠ 0) の型の K[X] 加群との同型を与えよ.

(1) K は任意の体,  A = (\begin{matrix}0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix})_{,}

(2)  K = R, C,  A = (\begin{matrix}cos θ & sin θ & 1 & 0 \\ − sin θ & cos θ & 0 & 1 \\ 0 & 0 & cos θ & sin θ \\ 0 & 0 & − sin θ & cos θ \end{matrix})_{,}

問題 3.4 A ∈ M_{n}(K) に対し, V を上の問題 3.3 のように定める. 下の K, A それぞれについて, V と K[X]/(f_{1}^{e_{1}}) ⊕ ⋯ ⊕ K[X]/(f_{n}^{e_{n}}) (ただし f_{1}, …, f_{n}0 は既約多項式) の型の K[X] 加群との同型を与えよ

Q, R, C, F_{3} = Z/3Z, F_{5}

(1) (\begin{matrix}0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix})_{,} (2) (\begin{matrix}0 & 0 & −3 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix})_{,} (3) (\begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & 0 \end{matrix})_{.}