Filtered limits of Schemes

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Alexander Grothendieck, Éléments de géométrie algébrique : IV. étude locale des schémas et des morphismes de schémas, troisième partie, Publications Mathématiques de l’IHÉS 28 (1966), 5–255 (fr).

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(8.2.1) Soient S₀ un espace annelé, L un ensemble préordonné filtrant croissant, (A_λ, φ_μλ) un système inductif de 𝒪_S₀-Algèbres (non nécessairement commutatives), ayant L pour ensemble d'indices. On sait que, considéré comme système inductif de 𝒪_S₀-Modules, (A_λ, φ_μλ) admet une limite inductive A; désignons par φ_λ: A_λ → A l'homomorphisme canonique (de 𝒪_S₀-Modules).

(8.2.2) Supposons maintenant que S₀ soit un préschéma, et que les A_λ soient des 𝒪_S₀-Algèbres (commutatives) quasi-cohérentes; on sait alors que A = lim A_λ est une 𝒪_S₀-Algèbre quasi-cohérente (I, 4.1.1). Désignons par S_λ (resp. S) le spectre de la 𝒪_S₀-Algèbre A_λ (resp. A) (II, 1.3.1), et soient u_λμ: S_μ → S_λ (pour λ ≤ μ) et u_λ: S → S_λ les S₀-morphismes correspondant aux homomorphismes φ_μλ et φ_λ respectivement (II, 1.2.7); il est clair que (S_λ, u_λα) est un système projectif dans la catégorie des S₀-préschémas. On notera que les u_λμ et u_λ sont des morphismes affines (II, 1.6.2), donc quasi-compacts et séparés.

Proposition (8.2.3) .
Avec les notations de (8.2.2), les morphismes u_λ: S → S_λ font de S une limite projective du système projectif (S_λ, u_λμ) dans la catégorie des préschémas. En outre, si h: S₀ → T est un morphisme, faisant de tout S₀-préschéma un T-préschéma, S est aussi limite projective du système (S_λ, u_λμ) dans la catégorie des T-préschémas.

(8.8.1) Conservant toujours les notations et hypothèse de (8.2.2), nous supposerons donnés dans cetter section deux S_α-préschémas X_α, Y_α ce qui définit (8.2.5) deux systèmes projectifs de préschémas (X_λ, v_λψ) et (Y_λ, w_λμ) en posant X_λ = X_α ×_Sα S_λ, Y_λ = Y_α ×_Sα S_λ, les morphismes canoniques v_λ: X → X_λ et w_λ: Y → Y_λ étant respectivement égaux à 1_Xα × u_λ et 1_Yα × u_λ. Pour α ≤ λ ≤ μ, on a une application canonique e_μλ : hom_{S_λ}(X_λ, Y_λ) → hom_{S_μ}(X_μ, Y_μ), qui à tout S_λ-morphisme f_λ: X_λ → Y_λ fait correspondre f_μ = f_λ × 1_{S_μ}: X_λ ×_{S_λ} S_μ → Y_λ ×_{S_λ} S_μ, et il est clair que (hom_{S_λ}(X_λ, Y_λ, e_λμ) est un système inductif d'ensembles. De même, on a une application canonique e_λ: hom_{S_λ}(X_λ, Y_λ) → hom_S(X, Y) qui à f_λ fait corespondre f = f_λ × 1_S: X_λ ×_{S_λ} S → Y_λ ×_{S_λ} S et (e_λ) est un système inductif d'applications; d'où, en passant à la limite inductive, une aplication canonique, fonctorielle en S_α, X_α et Y_α:

e: colim: hom_{S_λ}(X_λ, Y_λ) → hom_S(X, Y).

(8.8.1.1)

Théorème (8.8.2) .
(i) Supposons X_α quasi-compact (resp. quasi-compact et quas-séparé), et Y_α localement de type fini (resp. localement de présentation finie) sur S_α. Alors, l'application (8.8.1.1) est injective (resp. bijective).

(ii) Supposons S₀ quasi-compact et quasi-séparé. Pour tout préschéma X de présentation finie sur S, il existe un λ ∊ L, un préschéma X_λ de présentation finie sur S_λ, et un S-isomorphisme X = X_λ x_{S_λ} S.

Théorème (8.10.5) .
Supposons S₀ quasi-compact, X_α et Y_α de présentation finie sur S_α, soit f_α: X_α → Y_α un S_α-morphisme. Considérons, pour un morphisme, la propriété d'être:

(i) un isomorphisme ;
(i bis) un monomorphisme ;
(ii) un immersion ;
(iii) une immersion ouverte ;
(iv) une immersion fermée ;
(v) séparé ;
(vi) surjectif ;
(vii) radiciel ;
(viii) affine ;
(ix) quasi-affine ;
(x) fini ;
(xi) quasi-fini ;
(xii) propre.

Alors, si P désigne une des propriétés précédentes, pour que f possède la propriété P, il faut et il suffit qu'il existe λ ≥ α tel que f_λ possède la propriété P (auquel cas f_μ la possède aussi pour μ ≥ λ).

Si S₀ est en outre supposé quasi-séparé, la même conclusion est valable lorsque P est la propriété d'être:

(xiii) projectif ;
(xiv) quasi-projectif.

Proposition (8.13.1) .
Soient S un préschéma, (X_λ, v_λμ) un système projectif filtrant de S-préschémas; on suppose qu'il existe α tel que v_αλ soit un morphism affine pour tout λ ≥ α (se qui entraîne (II, 1.6.2) que v_λμ est affine pour α ≤ λ ≤ μ), de sorte que la limite projective X = lim X_λ existe dans la catégorie des S-préschémas (8.2.3). Soit Y un S-préschéma, et, pour tout λ ≥ α, soit e_λ: hom_S(X_λ, Y) → hom_S(X, Y) l'application qui, à tout S-morphism f_λ: X_λ → Y, fait correspondre f = f_λ ⚬ v_λ, où v_λ: X → X_λ est le morphisme canonique. La famille (e_λ) est un système inductif d'applications, qui définit donc une application canonique

colim hom_S(X_λ, Y) → hom_S(X, Y). (8.13.1.1)

Supposons X_α quasi-compact (resp. quasi-compact et quasi-séparé), et le morphisme structural Y → S localement de type fini (resp. localement de présentation finie). Alors, l'application (8.13.1.1) est injective (resp. bijective).

Corollaire (8.13.2) .
Avec les notations de (8.13.1), on suppose X_α quasi-compact et quasi-séparé, et les v_αλ affines pour α ≤ λ; on suppose en outre que Y = lim Y_ρ, où (Y_ρ, t_ρα) soit localement de présentation finie. On a alors une bijection canonique

hom_S(X, Y) = lim_ρ colim_λ hom_S(X_λ, Y_ρ).

(8.13.2.1)

Filtered colimits of quasi-coherent sheaves

Grothendieck, A. and Dieudonné, J. A., Éléments de géométrie algébrique. I. (French) Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences], 166. Springer-Verlag, Berlin, 1971. ix+466 pp. ISBN 3-540-05113-9; 0-387-05113-9

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Théorème 6.9.7 Soient X un schèma, U un ouvert de X. On suppose vérifée l'une des conditions suivantes;

a) L'espace sous-jacent à X est localement noethérien.
b) X est un schéma quasi-compact et quasi-séparé et U un ouvert quasi-compact.

Pour tout 𝒪_X-Module quasi-cohérent F et tout sous-(𝒪_X|U)-Module quasi-cohérent de type fini G de F|U, il existe alors un sous-𝒪_X-Module quasi-cohérent de type fini G′ de F tel que G′|U = G.

Corollary 6.9.9 Soit X un schéma dont l'espace sous-jacent est localement noethérien, ou un schéma quasi-compact et quasi-séparé. Alors, tout 𝒪_X-Module quasi-cohérent est limite inductive de ses sous-𝒪_X-Modules quasi-cohérents de type fini.

Proposition 6.9.14 Sous les hypothèse de (6.9.7):

(i) Pour toute 𝒪_X-Algèbre quasi-cohérente B et toute sous-𝒪_U-Algèbre quasi-cohérente de type fini C de B|U (resp. tout Idéal quasi-cohérent de type fini I de B|U), il existe une sous-𝒪_X-Algèbre quasi-cohérente de type fini C′ de B (resp. un Idéal quasi-cohérent de type fini I' de B), telle que C′|U = C (resp. I'|U = I).
(ii) Pour toute 𝒪_U-Algèbre quasi-cohérente C de type fini, il existe une 𝒪_X-Algèbre quasi-cohérente de type fini C′ telle que C′|U = C.

Corollaire 6.9.15 Soit X un schéma dont l'espace sous-jacent est localement noethérien, ou un schéma quasi-compact et quasi-séparé. Alors toute 𝒪_X-Algèbre quasi-cohérente B (resp. tout Idéal quasi-cohérent I de B) est limite inductive de ses sous-𝒪_X-Algèbres de type fini (resp. des Idéaux quasi-cohérents de type fini contenus dans I).

Proposition 6.9.16 Soit X un schéma quasi-compact et quasi-séparé.

(i) Pour toute 𝒪_X-Algèbre quasi-cohérente de type fini B, il existe une 𝒪_X-Algèbre A de présentation finie et un épimorphisme u: A → B.
(ii) Soit U un ouvert quasi-compact de X. Pour toute 𝒪_U-Algèbre B de présentation finie, il existe une 𝒪_X-Algèbre B′ de présentation finie telle que B′|U = B.
(iii) Toute 𝒪_X-Algèbre quasi-cohérente est isomorphe à une limite inductive filtrante de 𝒪_X-Algèbres de présentation finie.